0123456789

Đường thẳng Euler và đường tròn Euler thì chắc mọi người đều biết.
Có một kết quả mà mình tình cờ phát hiện ra : Đường thẳng Euler đi qua tâm đường tròn Euler. Nhờ các bạn thử kiểm tra và chứng minh hộ!

Có một pháo đài hình tam giác ABC có các trạm gác là A, I, K, B, L, M, C, N, P sao cho I, K thuộc AB và AI = IK = KB; L, M thuộc BC và BL = LM = MC; N, P thuộc CA và CN = NP = PA. Qua thời gian, pháo đài và các trạm gác hầu như bị hủy hoại, chỉ còn các trạm gác I, L, N. Hãy dựng lại các trạm gác còn lại.

Bài này không khó cũng không dễ :
Ngày xưa có một tòa thành có dạng là một tam giác ABC. Người ta xây 9 trạm gác trên ba cạnh AB, BC, CA như sau : Trên AB là 4 trạm A, I, K, B sao cho AI = IK = KB. Trên BC là 4 trạm gác B, L, M, C sao cho BL = LM = MC. Trên CA là 4 trạm gác C, N, P, A sao cho CN = NP = PA. Qua thời gian các trạm gác và tòa thành dần bị hủy hoại, chỉ còn các trạm I, L, N. Hãy dựng các trạm gác còn lại.

Chứng minh rằng các đường tròn nằm trong một tam giác thì đường tròn nội tiếp tam giác có diện tích lớn nhất.

Tôi muốn nhờ các bạn giải hộ bài toán này :
Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp. Lấy điểm D bất kì trên mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho D, B, C không thẳng hàng và gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DBC. Chứng minh rằng : IJ < BC.