Le Pham Quynh Tran

$a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh:

$\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$

 Cho $a,b,c> 0$ và $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh: 

$S=\sum \frac{a}{b^2+c^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

14) Đặt $ax^3=by^3=cz^3=k$

Ta có $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{k}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sqrt[3]{k}$

$\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}=\sqrt[3]{k}$

=> $\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$

8) Từ hpt, ta có $\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=\frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}$

Với $x< y=>\sqrt{x}< \sqrt{y}=>\frac{1}{\sqrt{x}}> \frac{1}{\sqrt{y}}$

$\frac{1}{x}> \frac{1}{y}=>\sqrt{2-\frac{1}{x}}< \sqrt{2-\frac{1}{y}}=>VT> VP$

Tương tự với $x>y$=>$VT<VP$

Nên $x=y$

Sau đó thay vào pt để giải ta được $x=y=1$

6) $(x+1)(x+8)(x+4)(x+2)=28x^2$

$<=>(x^2+9x+8)(x^2+6x+8)=28x^2$

Đặt $x^2+8=t=>(t+9x)(t+6x)=28x^2$

$<=> t^2+15tx+26x^2=0<=>(t+2x)(t+13x)=0$

$=>t+2x=0$ hoặc $t+13x=0$

Ta được dãy $1,3,6,10,15,21,28,...$

Từ đó ta tìm được quy luật của dãy $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$

$A=4a_{n}a_{n+2}+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$

Vậy $A$ là SCP

$S_{\bigtriangleup ABD}+S_{\bigtriangleup ACD}=S_{\bigtriangleup ABC}$

$<=>\frac{1}{2}AB.AD.sin\frac{A}{2}+\frac{1}{2}AD.AC.sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}AB.AC.sinA$

$<=>\frac{1}{2}AD.sin\frac{A}{2}(AB+AC)=\frac{1}{2}AB.AC.2.sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}$

$<=> AD=\frac{2.AB.AC.cos\frac{A}{2}}{AB+AC}$

Gọi 5 STN liên tiếp là $n-2;n-1;n;n+1;n+2$

Ta có $A=(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$

$=5n^2+10=5(n^2+2)$

$n^2$ không tận cùng là 3;8$=>n^2+2$ không tận cùng là 5 hoặc 0=>$n^2+2$ không chia hết cho 5

$=> 5(n^2+2)$ không chia hết cho 25=> $A$ không phải SCP

$x^{2}+x+2009=n^2$

$<=> 4x^2+4x+8036=4n^2$

$<=> (2x+1)^2+8035=4n^2$

$<=> 4n^2-(2x+1)^2=8035$

$<=> (2n+2x+1)(2n-2x-1)=8035=1607.5=8035.1$

Giải ra $x=400;2008$

Đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$

$(x+y)xy=x^2-xy+y^2<=> \frac{1}{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$

$<=>\frac{a+b}{a^2b^2}=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2b^2}=>a+b=a^2+b^2-ab$

$Q=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2\geq 4ab$

$=>ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2$

$a+b=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab\geq (a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$

$<=>(a+b)^2-4(a+b)\leq 0<=>(a+b-4)(a+b)\leq 0<=> 0\leq a+b\leq 4$

$=> 0\leq Q\leq 16$

Vậy $Q_{max}=16<=>a=b=2<=>x=y=\frac{1}{2}$

Ta có $(\frac{1}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c})(4a+b+9c)\geq (2+3+6)^2=121$

$<=> P=4a+b+9c\geq 121$

Vậy $P_{min}=121<=>\frac{1}{2a}=\frac{3}{b}=\frac{2}{3c}=> a=\frac{11}{2}; b=33; c=\frac{22}{3}$

$2m^{2}+mx+2n+8=0$

$x_{1}x_{2}=\frac{2n+8}{2}=n+4=> x_{1}x_{2}-4=n$

$x_{1}+x_{2}=\frac{-m}{2}=> 2(x_{1}+x_{2})=-m$

$m^2+n^2= 4(x_{1}+x_{2})^2+(x_{1}x_{2}-4)^2$

$=x_{1}^2x_{2}^2+4x_{1}^2+4x_{2}^2+16=(x_{1}^2+4)(x_{2}^2+4)$

Ta có $x^{2005}-2006x^{2004}+2006x^{2003}-2006x^{2002}+...-2006x^2+2006x-1$

$=x^{2005}-(x+1)x^{2004}+(x+1)x^{2003}-(x+1)x^{2002}+...-(x+1)x^2+(x+1)x-1$

$=x^{2005}-x^{2005}-x^{2004}+x^{2004}+x^{2003}-x^{2003}-x^{2002}+...-x^3-x^2+x^2+x-1$

$=x-1=2004$

Gọi $F$ là trung điểm của $AD$

Ta có $EF$ là đường trung bình của $\bigtriangleup ADC=>EF=\frac{1}{2}DC$

$ID$ là đường trung bình của $\bigtriangleup BEF=>ID=\frac{1}{2}EF=>ID=\frac{1}{4}DC=>IC=\frac{3}{4}DC$

$=>\frac{S_{BIC}}{S_{BDC}}=\frac{3}{4}$

$\frac{S_{BDC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{3}=> \frac{S_{BIC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{4}$

Bài 2 mình chứng minh theo đồ thị như thế này thì đc k?

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, lấy $A(a;b); B(-c;-d)$

Ta có $OA=\sqrt{a^2+b^2}; OB=\sqrt{c^2+d^2}$

$OA+OB\geq AB=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2)}$

=> $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Liệu ổn không nhỉ, mong mấy bạn góp ý cho mình