Nguyen Huy Hoang

hình như đề pt đầu anh viết sai ạ 

Có thể, nhưng theo bạn thì như thế nào mới đúng?

 untitled.JPG   32.27K   31 Số lần tải

góc giữa $A'B$ và $(ACC'A')$ = 30  độ

<=>  $\widehat{BA'C} = 30$

Tam giác $BA'C$ vuông tại $C$ (dễ cm) có $BC=a$, góc $BA'C = 30$ => $A'C = a\sqrt3$

Gọi $D$ là hình chiếu của $M$ lên $A'C$ 

Ta sẽ cm độ dài $MD$ là khoảng cách từ $M$ đến $mp(A'BC)$

Thật vậy:

+$MD$ vuông góc với $A'C$ theo cách ta vẽ

+$MD$ nằm trong $(ACC'A')$ mà $(ACC'A')$ vuông góc với $BC$ nên => $MD$ vuông góc với $BC$

=> $MD$ vuông góc với $mp(A'BC)$

Việc còn lại là tính $MD$

Xét riêng mặt phẳng $(ACC'A')$

Ta có:

$A'C'=AC=a$

$A'C=a\sqrt3$

Trong tam giác A'C'C, theo đ/l Pytago => $CC'=a\sqrt2$

Từ C' nếu ta hạ C'H vuông góc với A'C ( H nằm trong A'C) thì theo hệ thức lượng trong tam giác dễ thấy:

$\frac{1}{C'H^2}=\frac{1}{C'A'^2}+\frac{1}{C'C^2} $

=> $C'H=a\frac{\sqrt{6}}{3}$

Vì $M$ là trung điểm $A'C'$ nên dễ chứng minh $MD = \frac{1}{2} C'H = a\frac{\sqrt{6}}{6}$

Vậy khoảng cách cần tìm là  $a\frac{\sqrt{6}}{6}$

Sử dụng Bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\color{red}{\geq} \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương )

$\sum \frac{ab}{c+2}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=2$

Ngược dấu rồi bạn 

Ta có:

$\frac{ab}{c+2}=\frac{ab}{c+a+b+c}\leq \frac{ab}{4}.\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)$

Tương tự rồi cộng lại ta được đpcm