HoangHungChelski

$$(a,b,c)=(x^2,y^2,z^2)$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được:

$$\left(\sum \sqrt{\frac{x^2}{8y^2+z^2}}\right)\left(\sum x\sqrt{8y^2+z^2}\right) \geqslant (x+y+z)^2$$

Giờ cần chứng minh:

$$(x+y+z)^2\geqslant x\sqrt{8y^2+z^2}+y\sqrt{8z^2+x^2}+z\sqrt{8x^2+y^2}$$

Dùng hệ số phụ để thiết lập, chứng minh:

$$\sqrt{8y^2+z^2} \leqslant 3y+z-\frac{3yz}{2y+z}$$

Ta quy về việc chứng minh:

$$3xyz\sum \frac{1}{2y+z}+\sum x^2-2\sum yz \geqslant 0$$

$$\sum \frac{1}{2y+z} \geqslant \frac{3}{x+y+z}$$

Vì vậy ta cần chứng minh:

$$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(x+y+z)$$

Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc 3.


Spam tí: Vừa chiều nay trong giờ học hình em cũng vừa nghĩ ra cách y hệt anh =)) Đang định post thì....

Ừ. Được rồi. Cái luỹ thừa bậc ba của $m$ là để suy ra mâu thuẫn chỗ $3n-1=3v_2(m)$. Em thử suy nghĩ thêm nếu thay $m^3$ bằng $m^2$ thì giải như thế nào

 

@ Hướng : Oh, a ko có đọc TTT nên ko biết =)). Sr. 

Trên Blog cũ của Toàn Zaraki có bài tương tự này anh   
Mặc dù còn 23 phút nữa mới đến ngày 12 nhưng em xin đăng một bài số thuộc đề KT đội tuyển Hải Dương mà em xin xỏ được

Bài 23: Tìm $(a,b,m,n)$ nguyên dương thỏa mãn: 
$$a^m-b^m=(a-b)^n$$

Ukrainian TST 2007 problem 12

Bạn giải luôn hộ mình đi, đừng có bình luận kiểu spam thế này khiến người khác khó chịu lắm. 

Tham khảo tại đây

Đề hình như sai Đề chuẩn là đây (Ninh Bình 2009)

Cho $p,q\in \mathbb{Z^+}>1, \gcd(p,q)=1$. CMR: Tồn tại số nguyên $k$ sao cho $(pq-1)^nk+1$ là hợp số $\forall n\in \mathbb{Z^+}$
Lời giải: Vì $\gcd(p,q)=1$ nên theo Định lí thặng dư Tàu khựa, tồn tại số nguyên $k$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{matrix} k\equiv 1\pmod p & \\ k\equiv -1\pmod q & \end{matrix}\right.$
Nếu $n$ chẵn thì $(pq-1)^n\equiv 1\pmod q\Rightarrow (pq-1)^nk+1\equiv 0\pmod q\Rightarrow dpcm$
Nếu $n$ lẻ tương tự.
Do đó bài toán được CM hoàn toàn $\square$