Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


HoangHungChelski

Đăng ký: 28-01-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
***--

Chủ đề của tôi gửi

List bài toán số học của thầy Mạc Đăng Nghị về tập ước nguyên tố

03-12-2014 - 19:43

Sau đây là một list bài toán hay của thầy giáo mình, thầy Mạc Đăng Nghị cộng tác với vài thành viên trong lớp Toán 14-17 Chuyên Nguyễn Trãi. 

Bài 1: Cho $a\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ và $p$ nguyên tố lẻ. CMR: $a-1,a^p-1$ không có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 2: (China MO 2005) Cho $a,n\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n$ là một lũy thừa của $2$

Bài 3: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 4: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*}$. CMR: $\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1$

Bài 5: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*},m\geq n$ sao cho $a^m-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$.

Bài 6: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a^m-1=(a-1)^n$

Bài 7: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau, $p$ nguyên tố. CMR: $a-b,a^p-b^p$ không có cùng tập ước nguyên tố

Bài 8: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau sao cho $a-b$ và $a^n-b^n$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 9: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $m,n\in \mathbb{N^*},m>n$ sao cho $a^n-b^n,a^m-b^m$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$

Bài 10: Cho $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$. CMR: $(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{\gcd(m,n)}-b^{\gcd(m,n)}$

Bài 11: Tìm $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m-b^m=(a-b)^n$. Hãy mở rộng bài toán với $a,b\in \mathbb{N^*}$ bất kì

Bài 12: Tìm $a\in \mathbb{N^*},p$ nguyên tố sao cho $a+1,a^p+1$ có cùng tập ước nguyên tố.

Bài 13: Tìm $a,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a+1,a^n+1$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 14: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $(a+1)^n=a^m+1$. 

Bài 15: (Thi 50 năm THTT) Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $p$ nguyên tố sao cho $a+b,a^p+b^p$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 16: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},n\in \mathbb{N},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a+b,a^n+b^n$ có cùng tập ước nguyên tố

Bài 17: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m+b^m=(a+b)^n$. Hãy mở rộng như bài 10.

Một list bài toán với độ khó cũng tương đối nhưng chủ yếu là truyền cảm hứng là mục đích chính của thầy :) Mong các bạn cùng nhau trao đổi trong topic này và tìm ra thêm các mở rộng khác.


CMR: Với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^ny+1|x^{2^n}-1...

24-11-2014 - 15:02

CMR: Với mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $2^ny+1|x^{2^n}-1$ thì $x=1$.


Chọn đội tuyển Quốc Gia Tỉnh Hải Dương $2014-2015$

27-10-2014 - 16:20

                                                KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2015
                                                                              THỜI GIAN: 180 PHÚT


Câu 1:(5 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thay đổi thỏa mãn $4^x+4^y+4^z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của: 
$$S=2^{x+2y}+2^{y+2z}+2^{z+2x}-2^{x+y+z}$$

Câu 2: (5 điểm) Cho tam giác không cân $ABC$ có $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ và $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AM$, $P_1$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN$ và đường tròn đường kính $AB$ ($P_1\neq H$). Như vậy ta dựng được điểm $P_1$ tương ứng với đỉnh $A$, tương tự ta dựng điểm $P_2$ tương ứng với đỉnh $B$ và điểm $P_3$ tương ứng với đỉnh $C$. CMR: $AP_1,BP_2,CP_3$ đồng quy.

Câu 3: (6 điểm) Tìm tất cả $c\in \mathbb{N}$ sao cho tồn tại $a,b\in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $a^n+2^n$ là ước của $b^n+c$ với $n\in \mathbb{Z^+}$. Với mỗi bộ $(a,b,c)$ ở trên mà $c$ lớn nhất, chứng minh rằng $a,b$ không đồng thời là hai số chính phương.

Câu 4: (4 điểm) Cho $n$ nguyên dương, $n\geq 3$, xét một bảng vuông $n\times n$ gồm $n^2$ hình vuông đơn vị. Ta phủ bảng vuông đó bởi ba loại quân domino: Loại $1$: $1\times m$ ($1$ hàng, $m$ cột, $m$ là số nguyên có thể thay đổi ,$m\geq 2$); Loại $2$: $p\times 1$ ($p$ hàng, $1$ cột, $p$ nguyên có thể thay đổi, $p\geq 2$); Loại $3$: $1\times 1$ ($1$ hàng, $1$ cột). Biết rằng không có $2$ quân domino hàng chồng lên nhau và không được phép quay hoặc lật các quân domino để biến quân domino loại $1$ thành loại $2$ và ngược lại. Gọi $K$ là số quân domino cần dùng để phủ hết bảng vuông sao cho số quân domino loại $3$ là loại $2$ bằng nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $K$.

$$ \begin{matrix}\blacksquare \blacksquare \blacksquare &  \begin{matrix}\blacksquare \\ \blacksquare \end{matrix}& \blacksquare \\  \text{loại I}&  \text{loại II}&\text{loại III} \end{matrix} $$

(Một ví dụ về ba loại quân domino

 File gửi kèm  aaaa.JPG   12.2K   41 Số lần tải

                                                                                      ---------Hết---------


CMR Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả ước nguyên tố của $...

23-10-2014 - 23:30

CMR Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho tất cả ước nguyên tố của $n^2+n+1$ đều không lớn hơn $\sqrt{n}$.

 


CMR: $\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac...

16-10-2014 - 18:54

Cho $p\equiv -1\pmod 8$ là một số nguyên tố và $m,n\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn $\sqrt{p}> \frac{m}{n}$. CMR: 
$$\sqrt{p}>\frac{m}{n}+\frac{1}{mn}$$