Sau đây là một list bài toán hay của thầy giáo mình, thầy Mạc Đăng Nghị cộng tác với vài thành viên trong lớp Toán 14-17 Chuyên Nguyễn Trãi.
Bài 1: Cho $a\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ và $p$ nguyên tố lẻ. CMR: $a-1,a^p-1$ không có cùng tập ước nguyên tố.
Bài 2: (China MO 2005) Cho $a,n\in \mathbb{N^*},a\geq 2$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n$ là một lũy thừa của $2$
Bài 3: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố.
Bài 4: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*}$. CMR: $\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1$
Bài 5: Cho $a,m,n\in \mathbb{N^*},m\geq n$ sao cho $a^m-1,a^n-1$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$.
Bài 6: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a^m-1=(a-1)^n$
Bài 7: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau, $p$ nguyên tố. CMR: $a-b,a^p-b^p$ không có cùng tập ước nguyên tố
Bài 8: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau sao cho $a-b$ và $a^n-b^n$ có cùng tập ước nguyên tố
Bài 9: Cho $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $m,n\in \mathbb{N^*},m>n$ sao cho $a^n-b^n,a^m-b^m$ có cùng tập ước nguyên tố. CMR: $n|m$ và $\frac{m}{n}$ là lũy thừa của $2$
Bài 10: Cho $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$. CMR: $(a^m-b^m,a^n-b^n)=a^{\gcd(m,n)}-b^{\gcd(m,n)}$
Bài 11: Tìm $a,b,m,n\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m-b^m=(a-b)^n$. Hãy mở rộng bài toán với $a,b\in \mathbb{N^*}$ bất kì
Bài 12: Tìm $a\in \mathbb{N^*},p$ nguyên tố sao cho $a+1,a^p+1$ có cùng tập ước nguyên tố.
Bài 13: Tìm $a,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $a+1,a^n+1$ có cùng tập ước nguyên tố
Bài 14: Tìm $a,m,n\in \mathbb{N^*}$ sao cho $(a+1)^n=a^m+1$.
Bài 15: (Thi 50 năm THTT) Tìm $a,b\in \mathbb{N^*}$ nguyên tố cùng nhau và $p$ nguyên tố sao cho $a+b,a^p+b^p$ có cùng tập ước nguyên tố
Bài 16: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},n\in \mathbb{N},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a+b,a^n+b^n$ có cùng tập ước nguyên tố
Bài 17: Tìm $a,b\in \mathbb{N^*},\gcd(a,b)=1$ sao cho $a^m+b^m=(a+b)^n$. Hãy mở rộng như bài 10.
Một list bài toán với độ khó cũng tương đối nhưng chủ yếu là truyền cảm hứng là mục đích chính của thầy Mong các bạn cùng nhau trao đổi trong topic này và tìm ra thêm các mở rộng khác.