A piece of life

Bài 5 : 

- Nếu $k=1010$ hiển nhiên không được.

- Ta chứng minh $k=1011$ thỏa mãn: 

Ta chia thành 1010 bộ số : $(1,6); (2,5); (3,4); (2020,7); (2019,8); (2018,9); ,,,; (1014;1013)$ nhận thấy tổng 2 số trong mỗi bộ là số nguyên tố ( $2027$ nguyên tố).

Theo Dirichlet dễ có đpcm.

1) Cho $x,y,z>0; xyz=1$. Chứng minh :

$\sum \frac{1}{\sqrt{x^2+x+2}} \le \frac{3}{2}$

2) Cho $1 \le x,y,z \le 2$. Tìm min của $P=\frac{xy^2 + yz^2+zx^2}{x^4+y^4+z^4}$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có hai cạnh AD,BC kéo dài cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng d vuông góc với OI. Các đường thẳng AC,BD cắt d tại M và N. Chứng minh rằng IM=IN.

Lấy $X,Y$ là trung điểm của $BD,AC$. Chứng minh 2 tam giác đồng dạng $\Delta AYI$ và $\Delta BXI$

$\to \widehat{OYI} = \widehat{OXI} \to \widehat{OMI} = \widehat{ONI}$

Ai rảnh thì gõ lại đề hộ em với ạ !

  ĐỀ THI  CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI  1994-1995

                                                     Thời gian:150 phút 

Bài 3.

   Xác định các giá trị nguyên dương $n$ ($n \geq3$) sao cho $A=n!$ chia hết cho $B=1+2+3+...+n$

- Dễ thấy $n$ lẻ thỏa mãn
- Với $n$ chẵn, ta cần tìm $n$ để $n! \ \vdots \ n+1$

Ta chứng minh được : Nếu $n+1$ không nguyên tố thì $n! \ \vdots \ n+1$
Vậy $n+1$ không nguyên tố thì $n$ thỏa mãn. 

Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc 2014-2015( Đề không khó lắm)

Bài 3 : Em tính thế này 

Từ giả thiết ta có : $ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}$
Theo $Cauchy-Schwarz$ ta có : 
$ P = \sum \frac{a(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)}{(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c)(9a^3+3b^2+c)} \leq \sum \frac{\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac}{(a+b+c)^2} = \frac{2}{3}+ab+bc+ca \leq 1$

Cho 3 số tự nhiên a,b,c trong đó có đúng 1 số lẻ và 2 số chẵn,cmr $(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(b+c-a)^3-(a-b+c)^3$ chia hết cho 96

Đặt $b+c-a = x; a+c-b=y; a+b-c=z$, ta có : 

$(a+b+c)^3 - (a+b-c)^3 - (b+c-a)^3 - (a+c-b)^3 = (x+y+z)^3 - x^3 - y^3 - z^3 = 3(x+y)(y+z)(x+z) = 3.2c.2a.2b = 24abc$

Mà trong 3 số $a,b,c$ có 2 số chẵn nên $abc \ \vdots \ 4$

Từ đó ta có đpcm.

Câu 2:

Xét số em là 1 thì không được vì chỉ có thể là 1 nam hoặc 1 nữ => nam chiếm 0% hoặc 100% không thuộc khoảng như giả thuyết
Xét số em là 2 có 3TH, 2 nam hoặc 2 nữ hoặc 1 nam 1 nữ

1 nam 1 nữ => nam chiếm 50% thỏa

Vậy 2 là đáp số

 

Em nghĩ là 20 ạ Vì đề cho là nhỏ hơn $\frac{1}{2}$ mà.