nguocchieukimdongho

Cho $\triangle ABC$ có góc B bằng 60 độ. Các hình chiếu vuông góc của AB, AC lên BC theo thứ tự bằng 12cm, 18cm.Tính các góc và đường cao trong $\triangle ABC$

$\triangle ABH$vuông tại H$\Rightarrow \widehat{HAC}= 30^{\circ}$

$\Rightarrow HB= \frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow AB= 24cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go,ta có

-$AH^{2}+HB^{2}=AB^{2}$

$\Rightarrow AH= \sqrt{AB^{2}-HB^{2}}$

$\Rightarrow AH=12\sqrt{3}$

-$AH^{2}+HC^{2}=AC^{2}$

$\Rightarrow AC=6\sqrt{21}$

Ta có:

sin ACB=$\frac{AH}{AC}= \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{21}}= \frac{2}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 49^{\circ}6'$

$\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 70^{\circ}54'$

Vì $\triangle ADC=\triangle PCE$( câu b)

$\Rightarrow \widehat{EPC}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{ACD}+\widehat{ACP}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{EPC}+\widehat{ACP}=90^{\circ}$

$\Rightarrow AC\perp ED$

Vì ABCD là hình bình hành

$\Rightarrow$AD=BC

Mà EC=BC

$\Rightarrow$EC=AD

Gọi $CE\cap AD=\left \{ M \right \}$ ta có:

Vì BC song song với $\Rightarrow \widehat{BCE}+\widehat{AME}= 180^{\circ}$

Mà  $\widehat{BCE}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{AME}=90^{\circ}$

Xét $\triangle$ MDC có 

$\widehat{DMC}=90^{\circ}$

Mà $\widehat{PCD}=\widehat{PCM}+\widehat{DCM}=90^{\circ}$

$\Rightarrow \widehat{MDC}= \widehat{PCM}$

Xét $\triangle$ ADC và$\triangle$ PCE có

AD=EC(cmt)

$\widehat{MDC}= \widehat{PCM}$(cmt)

DC=PC(gt)

$\Rightarrow$ $\triangle$ ADC=$\triangle$ PCE(c.g.c)

a)Xét tứ giác EPFQ có:

CE=CF(gt)

CP=CQ(gt)

$\Rightarrow$ Tứ giác EPFQ là hình bình hành

Trên đoạn thẳng AB lấy C bất kì. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ $\triangle$ đều ACD và $\triangle$ đều BCE. Gọi M, N, P, Q, I lần lượt là trung điểm của AE, CD, BD, CE, DE.
b)Tứ giác MNPQ là hình gì?

Vì MQ là đường trung bình của $\triangle AEC$
$\Rightarrow$ MQ song song với AC
Tương tự
NP song song với CB
$\Rightarrow$ MQ song song Với NP
$\triangle$ DEC có:

DI=IE

DN=NC
$\Rightarrow$ IN là đường trung bình của $\triangle$ DEC

$\Rightarrow IN=\frac{1}{2}EC$

Tương tự $\Rightarrow IP=\frac{1}{2}EB$

Mà EC=EB

$\Rightarrow IP=IN $

$\Rightarrow \triangle INP$ cân tại I

$\Rightarrow \widehat{INP}=\widehat{IPN}$

$\Rightarrow$ MQPN là hình thang cân