Tran Nho Duc

Câu 1.b cấp số cộng xử lý thế nào vậy mọi người. Mình đang học lại phần này.

Cấp số cộng kệ nó, bạn cứ làm như thường.

Đó chỉ là điều kiện để tìm ra số đo cụ thể các góc thôi..

$3\sqrt{5-x}+3\sqrt{x-4}= 2x+7$

$DK x \in [4;5]$

$VT=3\sqrt{5-x}+3\sqrt{x-4}\leq 3.\sqrt{(5-x+x-4)(1+1)}=3\sqrt{2} \Rightarrow 2x+7\leq 3\sqrt{2}\Leftrightarrow x\leq \frac{3\sqrt{2}-7}{2}<4$

Suy ra $PTVN$

Em nhận được rồi ạ ! Đang giặt, vài bữa sẽ lên diễn đàn để khoe

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức:

                          $P=\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

Ta có bất đẳng thức phụ : $\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 1+\sqrt[3]{abc}$

Suy ra $\sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}+\frac{1}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq \frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}$

Mặt khác : $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$

Nên : $P\leq \frac{2}{3+3t^{2}}+\frac{t}{1+t}$, với $t\in (0;1]$

Khảo sát ta được $P\leq \frac{5}{6}$ khi $t=1$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm GTNN của $\frac{1}{2a+b+2\sqrt{2bc}}-\frac{8}{\sqrt{2a^2+2(a+c)^2+3}}$

Có khi nào chỗ kia là $2b^{2}$ thay vì $2a^{2}$ không ? Vì phân thức thứ nhất đã gợi ý về biến $t=a+b+c$ rồi.

Cho x,y,z là các số thực thỏa xyz=1.Chứng minh:

$\frac{1}{\sqrt{4+5x}}+\frac{1}{\sqrt{4+5y}}+\frac{1}{\sqrt{4+5z}}\leq 1$

Không mất tính tổng quát, giả sử $z=max\{x,y,z\}$. Suy ra $c\in [1; +\infty]$, $xy\leq 1$

Sử dụng bất đẳng thức phụ :

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

Với $ab\leq 1$, dấu bằng xảy ra khi $ab=1$.

Đưa bài toán về khảo sát biến $z$.

Ta có :

$\frac{1}{\sqrt{4+5x}}+\frac{1}{\sqrt{4+5y}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{1+\dfrac{5x}{4}}}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\sqrt{1+\dfrac{5y}{4}}}=\frac{1}{2}.(\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{5x}{4}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{5y}{4}}})\leq \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{5\sqrt{xy}}{4}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{5}{4\sqrt{z}}}}$

Hai máy bơm khác nhau cùng hút hết nước trong 1 bể bơi thì sau 4 giờ là xong. Nếu máy bơm thứ nhất hút được 1 nửa    lượng nước trong bể và nửa lượng nước còn lại do máy bơm thứ hai hút tiếp thì tổng thời gian là 9 giờ mới xong. Hỏi nếu chỉ có 1 máy bơm hoạt động thì tốn thời gian ít nhất là bao nhiêu để hút hết lượng nước có trong bể ?

Gọi vận tốc 2 máy là $v_{1}$ và $v_{2}$ , thể tích bể nước là $V$

Ta có hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} V=4(v_{1}+v_{2})\\ \dfrac{V}{2v_{1}}+\dfrac{V}{2v_{2}}=9 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} v_{1}=\dfrac{V}{6}\\ v_{2}=\dfrac{V}{12} \end{matrix}\right.$ (trong đó $v_{1}$ và $v_{2}$ có thể hoán đổi.)

Vậy $t_{min}=6$

Bổ sung điều kiện ( vì nhiều lúc chúng ta không để ý) :

Giả sử $c=max\{a,b,c\}$. Suy ra $c\in [1;4]$

Sử dụng bất đẳng thức phụ :

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$

Với $ab\leq 1$, dấu bằng xảy ra khi $ab=1$.

Đưa bài toán về khảo sát biến $c$.

Năm ngoái giờ này còn chém gió, giờ thì mình đã năm trên thớt rồi... Buồn quá...

Theo mình, nhưng bài nào đăng trên trang chủ mà quá dài thì chỉ nên hiện 1 phần, và dẫn link xem thêm bên dưới

Chứ như bây giờ mình vào trang chủ , mình ko thích xem cái bài "Ngày 29/2" chẳng hạn, mình phải lăn chuột mỏi cả tay hay kéo thanh bên phải màn hình cả 1 khúc dài mới ra bài mới, tiếp mấy bài dài dằng dặc mãi mới ra điểm thi tháng 10 mình cần tìm hay vài thử mình thích đọc.

  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                                                   ĐỀ THI OLYMPIC 27/4

    TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU                                                                                                            Năm học : 2015-2016

         ------------------------------                                                                                                                         ----------------------

             ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                                                               MÔN : TOÁN - LỚP 11

                                                                                                                                                                   Ngày thi : 04 tháng 3 năm 2016

Bài 1 (5,0 điểm)

1) Giải phương trình $\frac{1-(sin^{4}x+cos^{4}x)}{sinx}=\sqrt{2}sin(x+\dfrac{\pi}{4})+cos(\dfrac{3\pi}{2}-x).$

2) Tính số đo các góc của tam giác $ABC$, biết $sin(B+C)+sin(C+A)+cos(A+B)=\dfrac{3}{2}$.

Bài 2 (2,0 điểm)

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên $N$ gồm $13$ chữ số thỏa mãn : $N$ chia hết cho $6$ , mọi chữ số của $N $ đều thuộc tập $\{0;1\}$ và không có $2$ chữ số $1$ nào đứng kề nhau ?

Bài 3 (4,0 điểm)

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều. Mặt phẳng $(P)$ chứa $BC'$ và song song $AB'$. Biết $AB=a, (a>0)$; góc giữa $BC'$ và $AB'$ là $60^{0}$.

    1) Xác định thiết diện của lăng trụ $ABC.A'B'C'$ với $(P)$.

    2) Tính theo $a$ khoảng cách từ $A$ đến $(P)$.

Bài 4 (5,0 điểm)

1) Cho $(x_{n})$ : $\left\{\begin{matrix} x_{1}=-2\\ x_{n}x_{n+1}-1=2(x_{n+1}-x_{n}), \forall n \in N^{*} \end{matrix}\right.$ Đặt $y_{n}=\frac{x_{n}+1}{x_{n}-1}, \forall n \in N^{*}$. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(y_{n})$ và chứng minh $\sum_{k=1}^{n}y_{k}<\frac{1}{2}, \forall n \in Z^{+}.$

2) Cho $(x_{n})$ : $x_{n}=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{C_{n}^{k}}, \forall n \in N^{*}.$ Chứng minh $x_{n+1}=\frac{n+2}{2(n+1)}+1, \forall n \in N^{*}$ và tính $lim x_{n}$.

Bài 5 (4,0 điểm)

1) Chứng minh phương trình $\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+...+\frac{1}{(x+2015)(x+2016)}=\frac{1}{2}$ có nghiệm dương

2) Tìm tất cả các hàm số $f$ : $R\rightarrow R$ thỏa mãn $f(x-y^{3}f(x))=f(f(x))-xy^{2}f(y); \forall x,y \in R.$

-------------------------HẾT-------------------------