Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


BoY LAnH LuNg

Đăng ký: 14-02-2014
Offline Đăng nhập: 11-10-2015 - 16:44
*****

#495000 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 24-04-2014 - 22:41

155, cho a,b,c là 3 cạnh một tam giác. CMR

a, $\sum \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}> 3$

b, nếu $a\leq b\leq c  thì  (a+b+c)^{2}\leq 9bc$




#492175 Topic tổng hợp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên.

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 11-04-2014 - 17:40

218, giải các phương trình nghiệm nguyên

a, $8x+11y=73$

b, $5x-3y=2xy-11$

c, $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}=y^{2}$

d, $x^{3}+y^{3}+z^{3}=2003^{4}$

e, xyz = 9 + x + y + z và x, y, z >0

g, $x^{3}-x^{2}-2xy=y^{3}+y^{2}+100$

h, 5 (x + y + z + t) + 10 = 2xyzt  và x, y, z, t là các số dương

i, 2 + 3x = 5x với x không âm

k, 19x2 + 28y2 = 729 với x, y nguyên dương

l, 9x + 5 = y(y+1)

m, 2016x + 3 = y3

n, 2x2 + 4x = 19 - 3y2

p, x4 + 2x3 + 2x2 + x + 3 = y2

r, x3 + 2y3 = 4z3 (sử dụng phương pháp lùi vô hạn)

s, x3 + y3 + z3 = (x + y + z)2 với x, y, z đôi một khác nhau

t, x3 - y3 = xy + 8

u, 6x + 15y + 10z = 3

v, 2x + 57 = y2

w, 12x+ 6xy + 3y2 = 28(x + y)




#491943 Topic về các bài toán lớp 6

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 10-04-2014 - 17:18

Kết quả hình như là $\frac{17}{25}$ phải ko bn




#491570 Topic về các bài toán lớp 6

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 09-04-2014 - 09:02

 

Bài 37: Tính

a) $A=\frac{8}{9}.\frac{15}{16}.\frac{24}{25}...\frac{2499}{2500}$

 

ta có thể phân tích $A=\frac{(2.4)(3.5)(4.6)...(49.51)}{(3.3)(4.4)(5.5)...(50.50)}=\frac{(2.3.4.5...49)(4.5.6...51)}{(3.4.5...50)(3.4.5...50)}$

đến đây giản ước là xong




#491425 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 08-04-2014 - 17:49

167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx

CM  $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$

áp dụng bdt Bunyakovsky ta có

$(x^{2}+y+1)(1+y+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}\Rightarrow \frac{1}{x^{2}+y+1}\leq \frac{1+y+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

tương tự $\frac{1}{y^{2}+z+1}\leq \frac{1+z+x^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

$\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{1+x+y^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

cộng 3 bất dẳng thức trên ta được 

$\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}\leq \frac{3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+y+z)^{2}}$

ta chỉ cần cm 

$3+x+y+z+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow 3+xy+yz+zx+x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq (x+y+z)^{2}$

$\Leftrightarrow 3\leq xy+yz+zx$

do $x+y+z=xy+yz+zx$ và $xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

nên $xy+yz+zx\leq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{3}$

$\Rightarrow xy+yz+zx\geq 3$

bài toán dc cm

 

 

p/s bài này mình làm rồi hi hi  :icon6:  :lol:  :wacko:




#491417 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 08-04-2014 - 17:14

Bài 165:

Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $(0;1)$ thoả mãn $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$.

Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq \frac{3}{4}$

 

P/s: Mình thấy bài này cũng khá hay, hình như giống đề thi thử đại học năm nay của tỉnh Vĩnh Phúc thì phải. Mọi người làm thử xem sao nhé!

$abc=(1-a)(1-b)(1-c)\Rightarrow abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca-abc$

$\Rightarrow 2abc=1-(a+b+c)+ab+bc+ca(1)$

Lại có $abc=(1-a)(1-b)(1-c)$ và $a,b,c\epsilon (0,1)$

$\Rightarrow 1=(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)$

áp dụng bdt côsi

$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)}$

$(\frac{1}{a}-1)+(\frac{1}{b}-1)+(\frac{1}{c}-1)\geq 3$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 6$

$\Rightarrow ab+bc+ca\geq 6abc$(2)

$(1)(2)\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3-3(a+b+c)+3(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow 0\geq 3-(a+b+c)+2(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}-3(a+b+c)+3$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq (x+y+z-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

suy ra dpcm




#491281 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 07-04-2014 - 18:50

164, Cho $a,b,c\geq 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

CMR $\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}+\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 3\sqrt{2}$

ta cần cm $\frac{2a+c}{1+bc}+\frac{2b+c}{1+ca}\leq 2\sqrt{2}$  và  $\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}$

ta có * $\frac{2a+c}{1+bc}\leq \frac{8a+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$

TT $\frac{2b+c}{1+ca}\leq \frac{8b+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$

cộng theo vế có đpcm

* $\frac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 2 \Leftrightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}$

 

$a+b+c-2abc=a(1-2bc)+(b+c)$

áp dụng bdt bunhiacopxki ta có $a+b+c-2abc=a(1-2bc)+(b+c)\leq \sqrt{[a^{2}+(b+c)^{2}].[(1-2bc)^{2}+1]}=\sqrt{(1+2ab)(2-4ab+4a^{2}b^{2})}$

do đó ta cần cm $\sqrt{(1+2ab)(2-4ab+4a^{2}b^{2})}\leq 2\Leftrightarrow 8a^{3}b^{3}-4a^{2}b^{2}\leq 0\Leftrightarrow ab\leq \frac{1}{2}$

BDT này luôn đúng do $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{1}{2}$

suy ra dpcm




#491270 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 07-04-2014 - 18:19

162, cho 3 số thực a, b, c thoả mãn $a+b+c\leq 3$

Tìm GTLN của $P=\sum \frac{a+1+a .\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{a^{2}+1}}$

$P=\frac{a+1}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b+1}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c+1}{\sqrt{c^{2}+1}}+a+b+c$

Mà $\frac{a+1}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$\frac{b+1}{\sqrt{b^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$\frac{c+1}{\sqrt{c^{2}+1}}\leq \sqrt{2}$

$a+b+c\leq 3$

nên $P\leq 3\sqrt{2}+3$

Dấu = xẩy ra khi $a=b=c=1$




#491266 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 07-04-2014 - 18:00

161, Cm BDT $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$




#491265 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 07-04-2014 - 17:57

159, Cho a, b, c thoả mãn  $a+b+c=abc$

CM: $a(b^{2}-1)(c^{2}-1)+b(a^{2}-1(c^{2}-1))+c(a^{2}-1)(b^{2}-1)=4abc$

160, Cm với mọi số nguyên x thì 

$A=1985.\frac{x^{3}}{3}+1977.\frac{x^{2}}{2}+5.\frac{x}{6}$ là số nguyên




#491091 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 06-04-2014 - 18:42

157, Cho $x,y,z> 0$ thoả mãn $xyz=1$

Tìm GTLN của $M=\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}}$

158, $CMR$ với $a,b,c> 0$ ta có BDT $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{6abc}$




#490931 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 05-04-2014 - 23:32

144. Cho x + y = 1. Tìm min $\left( 1-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( 1-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)$

 

@Viet Hoang 99: Chú ý STT bài toán.

Ta có $x+y=1$ nên $(x+y)^{2}=1$ và $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}=4$

$(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=1-(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=1-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}=1+\frac{2}{xy}\geq 1+8=9$




#490807 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 05-04-2014 - 18:04

149, Cho $A=\frac{x^{4}(y-z)+y^{4}(z-x)+z^{4}(x-y)}{(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}}$ trong đó x, y, z là các số nguyên , $x> y> z$.

CMR A là số nguyên dương




#490593 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 04-04-2014 - 17:07

146, giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=xy & & \\ x^{2008}+y^{2008}=8. \sqrt{(xy)^{2005}} & & \end{matrix}\right.$




#490592 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi BoY LAnH LuNg trong 04-04-2014 - 17:00

141)

$\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+2}})= \frac{1}{8}.\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{\sqrt{k(k+2)}}= \frac{1}{8}.\frac{2}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}= \frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}.(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})}> \frac{1}{(\sqrt{k}+\sqrt{k+1})^{3}}$

chỗ màu đỏ tại sao