KemNgon

#552791 Chứng minh rầng$x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}$ l...

Gửi bởi KemNgon trong 09-04-2015 - 22:04

1.

Ta có: $x+\frac{1}{y}=\frac{xy+1}{y}$

$y+\frac{1}{x}=\frac{xy+1}{x}$

Nhân vế với vế => $\frac{x^{2}y^{2}+2xy+1}{xy}\epsilon \mathbb{Z}$

=> $xy + 2 + \frac{1}{xy}$

=> $xy + \frac{1}{xy}$ thuộc Z ( do 2 thuộc Z )

=> $(xy + \frac{1}{xy})^{2}$ thuộc Z

=> A + 2 thuộc Z ( với A là biểu thức cần chứng minh )

Mà 2 thuộc Z vậy ta có điều phải chứng minh.

the man và quynhly thích

#552785 Chứng minh rầng$x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}$ l...

Gửi bởi KemNgon trong 09-04-2015 - 21:53

2.

P(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + a = (x²+5x+4)(x²+5x+6) + a = (x²+5x+9)(x²+5x+6) - 5(x²+5x+6) + a

Để P(x) chia hết cho Q(x) thì suy ra a - 5(x²+5x+6) chia hết cho Q(x)

=> $- 5x^{2}-25x-30+a \vdots (x^{2}+5x+9)\Rightarrow a = -15$

( Đoạn này có thể dễ dàng tính được bằng cách sử dụng đồng nhất hệ số ).

hoanglong2k và quynhly thích

#552772 CMR $\sum \frac{a-b}{c}.\sum...

Gửi bởi KemNgon trong 09-04-2015 - 21:40

Đặt cái ngoặc thứ nhất là B. ngoặc thứ hai là C. Có:
$B = \frac{a-b}{c} + \frac{b-c}{a} + \frac{c-a}{b} => abc.B = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = ab(a-b) + bc(b-a + a-c) + ca(c-a) = ab(a-b) - bc(a-b) - bc(c-a) + ca(c-a) = b(a-b)(a-c) + c(c-a)(a-b) = (a-b)(a-c)(b-c) => B = \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{abc}$

Quy đồng C và chú ý đến giả thiết. Từ đó suy ra a+b = -c ; b+c = -a ; c+a = -b

Nhân (a-b)(b-c)(c-a) với C. Phân tích thành nhân tử kết hợp rút gọn biểu thức suy ra được $C=\frac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{9abc} {(a-b)(b-c)(a-c)}$

Vậy B.C=9

Thu Huyen 21, the man, Huyenpham và 1 người khác yêu thích

#537467 Chứng minh rằng: tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n!

Gửi bởi KemNgon trong 12-12-2014 - 20:09

bài này ra lâu rùi hình như không giải được bằng t/c số học thì phải ?? Có anh nào siêu toán ra tay giúp đi ! Mình nghĩ bài này nên đưa vào mục tuyển chọn những bài toán hay và chưa giải được để mọi người thảo luận và tìm cách giải nó.

Còn nhớ hồi học cấp III khi học về toán tổ hợp, bài toán này xuất hiện ngẫu nhiên khi ta xem công thức tính tổ hợp chập k của n phần tử nó là một số nguyên Vì vậy mà tích của n số tự nhiên liên tiếp khi chia cho n! nó chính bằng số tổ hợp chập n của m phần tử nào đó nên kết quả là một số nguyen, cho nên tích của n số tự nhiên liên tiếp ắt phải chia hết cho n! Đó là nhìn với quan điểm tính số tổ hợp của toán tổ hợp chập.

Mình thấy cũng hay đem ra đố các bạn. Ai cũng chịu bó tay nếu giải theo đúng trên phương diện số học, loay hoay mãi chẳng thể nào mà giải cho dc nếu dùng các t/c của số. bài toán nhìn đơn giản nhưng hình như ko thể giải dc, Nếu nhìn bài toán bằng con mắt tổ hợp chập thì nó trừu tượng wa và giống như là thừa nhận vậy vì chứng minh đó ko thấy được dựa trên tính chất của số học.Mình nghĩ sau này có thể mình laj giải được nó nên để lại sau ko ng/cứu j thêm nữa. Đành thừa nhận theo tổ hợp chập vậy.

Năm tháng cứ trôi qua mà bài toán vẫn ko giải được nó dần đi vào quên lãng.Bỗng một hôm mình gặp lại bài toán này vẫn bứt rưt giống như gặp lại người yêu cũ vậy không thể nào lấy được em mặc dù yêu em lắm, duyên số mà !

Thấy dc bài toán này có nhiều kỉ niệm với mình wa. Nên m coment lên đây để chia sẽ cùng mọi người ! cũng mong diễn đàn đừng xóa nó.

Mong ước có bạn nào giải được nó bằng pp số học cố gắng đưa lên đây cho m biết với !! Qua đây cũng chia sẽ với các bạn ko biết các bạn gõ công thức toán như thế nào trên diễn đàn chứ mình gõ hoài ko được ? muốn gõ bài giải đưa lên cũng chju thua .

Gõ Latex rất đơn giản, bạn xem tại đây nhé http://diendantoanho...-trên-diễn-đàn/

Chứng minh rằng: tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho n!

Bài toán này đã được giải rồi. http://diendantoanho...hia-hết-cho-k/

Và mình nghĩ cách giải của bạn nguyentiendung9372 ở cuối topic bằng cách sử dụng phần nguyên là một cách làm rất đẹp và hay Mọi người cùng tham khảo nhé. Cách giải bằng nguyên lí cực hạn của anh #nearryuzaki thì mình chưa hiểu lắm....