Goddess Yoong

$Cho \Delta ABC có \widehat{ABC}> 90^{^{o}}, trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho \widehat{CBN}=\widehat{CAM}, BN cắt AM tại I. Từ N kẻ đường thẳng song song BC cắt AM tại K, cắt AB tại P. CP cắt MN tại H. Chứng minh rằng IH.CP=IP.HC$

Tính $S=2.1.C\begin{matrix} 2\\ n \end{matrix}.2^{n-2}-3.2.C\begin{matrix} 3\\ n \end{matrix}.2^{n-3}+...+(-1)^{n}.n.(n-1).C\begin{matrix} n\\ n \end{matrix}$

Tính $S=\frac{(C\begin{matrix} 1\\ n \end{matrix})}{1}^{2} + \frac{(C\begin{matrix} 2\\ n \end{matrix})}{2^{2}}^{2}+...+\frac{(C\begin{matrix} n\\ n \end{matrix})}{n^{2}}^{2}$

Cho $a, b, c \epsilon R$: $ab+bc+ca+2abc=1$. Tìm min: $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-2(a+b+c)$

Cho  tứ diện $OABC$ có 3 góc tại $O$ vuông. Gọi H là hình chiếu của $O$ trên mặt phẳng $(ABC)$, $P$ là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC

Chứng minh: $\frac{PA^{2}}{OA^{2}}+\frac{PB^{2}}{OB^{2}}+\frac{PC^{2}}{OC^{2}}=1+\frac{OP^{2}}{OH^{2}}$