rabbit

Tính tích phân: $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{sin^{3}x}{cos^{2}x}dx$

đặt t= cosx => dt= -sinxdx => I = $-\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1-t^2}{t^2}dt$ = $-\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left ( \frac{1}{t^2} -1\right )dt$

còn lại tự tính ok

tính tích phân: $I=\int_{-1}^{\sqrt{2}}x^{2}\sqrt{4-x^{2}}dx$

đặt x= 2.cost =>  dx=-2sintdt

=> I= $-8\int_{\frac{2\prod }{3}}^{\frac{\prod }{4}}sin^{3}t\sqrt{4\left ( 1-cos^{2}t \right )}dt$

      =$-16\int_{\frac{2\prod }{3}}^{\frac{\prod }{4}}sin^{4}tdt$

rồi dùng phương pháp hạ bậc là ra ok

ta có: $y' = 4x^{3}+4mx$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x^{3}+4mx =0$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x^{2}=-m$

để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m< 0$

khi đó 3 điểm cực trị: 

$A (0;1)$

$B(-\sqrt{-m};-m^{2}+1)$

$C(\sqrt{-m};-m^{2}+1)$

Gọi I là trung điểm BC $\Rightarrow I(0;1-m^{2})$

dễ thấy tam giác ABC cận tại A và I là trung điểm BC

xét tam giác AIC vuông tại I, ta có: $sinC=\frac{AI}{AC}$

 

Gọi R là bán kính ngoại tiếp tam giác ABC, áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:

$\frac{AB}{sinC}=2R$ $\Rightarrow \frac{AB.AC}{AI}=2$

 

$\Leftrightarrow AB^{2}=2AI$

$\Leftrightarrow -m+m^{4}=2m^{2}$

$\Leftrightarrow m^{4}-2m^{2}-m=0$

$\Leftrightarrow m^{3}-2m-1=0$

$\Leftrightarrow (m+1).(m^{2}-m-1)=0$

$\Leftrightarrow m=-1$ hoặc $m=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

 

vì m < 0, nên ta nhận $m=-1$ hoặc $m=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

y'= $4x^3-4mx$ mà bạn tính ra nghiệm là m = 1, $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Ta có $d\left(\ln \cos x\right)=-\tan xdx$

 

Nên $I=\int \frac{\tan x}{\sqrt{1-\ln^2\cos x}}dx=-\int\frac{d\left(\ln \cos x\right)}{\sqrt{1-\ln^2\cos x}}=\arccos \ln \cos x+C$

sao  $-\int \frac{d(lncosx)}{\sqrt{1-ln^{2}cosx}}=arccos(lncosx)+C$ được

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{tanx}{\sqrt{1-(ln(cosx))^2}}dx$