BABY CUTE

167, cho x,y,z là các số dương thoả x+y+z=xy+yz+zx

CM  $\frac{1}{x^{2}+y+1}+\frac{1}{y^{2}+z+1}+\frac{1}{z^{2}+x+1}$ $\leq 1$

130, Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ 

Tìm Min của $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

Ta có : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

 $P=\frac{a^{2}(b+c) + b^{2}(a+c)}{abc}$

$=\frac{ab(a+b)+c^{3}}{abc}=\frac{a+b}{c}+\frac{c^{2}}{ab}\geq \frac{a+b}{c}+\frac{4c^{2}}{(a+b)^{2}}=\frac{a+b}{2c}+\frac{a+b}{2c}+\frac{\sqrt{2}c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{(4-\sqrt{2})c^{2}}{(a+b)^{2}}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2\sqrt{2}}}+\frac{4-\sqrt{2}.2(a^{2}+b^{2})}{2(a+b^{2})}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{4-\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$

 

Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ vuông cân

Chỗ này sai rồi

107,  Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn $\frac{1}{xy}$   +   $\frac{1}{yz}$   $\frac{1}{zx}$  >   0

Tìm GTNN của biểu thức S  =  $\frac{x^{2}}{yz}$    +    $\frac{y^{2}}{zx}$    +    $\frac{z^{2}}{xy}$