aidayta

Trên đường tròn tâm O đường kính A lấy điểm P bất kì khác A, B. Dựng hình vuôn APQR sao cho tam giác APB và hình vuông đó cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AP

       a, C/m rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác APB và 2 điểm A, B, Q cùng thuộc một đường tròn

       b, Gọi H là hình chiếu vuông góc của P trên AB và R1, R2, R3 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác APB, APH, BPH. Xác định vị trí của P trên đường tròn (O) để tổng R1+R2+R3 đạt giá trị lớn nhất

Cho 3 số dương x,y,z, có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

                                 $\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\geq 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

bạn ghi như zậy thì ai hiểu mà sửa đc cơ chứ  

 

Câu 2: Đặt S_OBC = S₁ ; S_OCA =S₂ ; S_{OAB =} S_{3 ;} S_ABC= S

Ta có :$\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S_AMB}{S_OMB}$ =$\frac{S_AMC}{S_OMC}$ =$\frac{S_ABC}{S_OBC}$ 

              

=> $\frac{AM}{OM}$ = $\frac{S}{S₁}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S₁}$

 

Tương tự ta cũng có : $\frac{BN}{ON}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S2}$

                                   $\frac{CP}{OP}$ =$\frac{S₁+S₂+S₃}{S3}$

=> $\frac{AM}{OM}$ + $\frac{BN}{ON}$ +$\frac{CP}{OP}$ = ( S₁ +S₂ +S₃)($\frac{1}{S₁}$ +$\frac{1}{S₂}$ +$\frac{1}{S₃}$ (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

        (1) ≥ 3$\sqrt[3]{xyz}$ . 3$\sqrt[3]{ $\frac{1}{xyz }$ =9

  Dấu đẳng thức xẩy ra khi O là trọng tâm của tam giác

 

p/s: ui cha là đê  

câu 1: cho 2010 số thực a1, a2,..., a2010 thỏa mãn điều kiện a1 + a2+...+a2010=0 và $a1^{2}+a2^{2}+...+ a2010^{2}$

              Chứng minh trong 2010 số trên, có 2 số có tích không vượt quá $\frac{-1}{2010}$

câu 2 : chứng minh phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$ chỉ có hữu hạn nghiệm tự nhiên