xCaroZ

Với bài này thì sao bạn:

Cho các số thực dương x, y, z thõa: x+y+z=3

Tìm min : $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)}$

Mình biến đổi tới: $P\geq \frac{x}{y(y^2+x))}+\frac{y}{z(z^2+y)}+\frac{z}{x(x^2+z)}$ thì chẳng biết lám sao nữa. 

Xác định cái bước tiếp theo để làm khó quá 

Áp dụng $AM-GM$ ta có:$2\sqrt{1+8x^{3}}\leq (1+2x)+(1-2x+4x^{2})=2+4x^{2}$.Suy ra:$\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)} \geq \frac{4x}{y(2+4y^2+4x-2)}=\frac{x}{y(x+y^2)}$ $(1)$

Tương tự ta có:$\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)} \geq \frac{y}{z(y+z^2)}$ $(2)$

                         $\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)} \geq \frac{z}{x(z+x^2)}$ $(3)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:$P \geq  \frac{x}{y(x+y^2)}+\frac{y}{z(y+z^2)}+\frac{z}{x(z+x^2)}$

Áp dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu ta có:$\frac{x}{y(x+y^2)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x+y^2} \geq \frac{1}{y}-\frac{y}{2y\sqrt{x}}=\frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $(4)$

Tương tự ta có:$\frac{y}{z(y+z^2)} \geq \frac{1}{z}-\frac{1}{2\sqrt{y}}$ $(5)$

                         $\frac{z}{x(z+x^2)} \geq \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{z}}$ $(6)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(4),(5)$ và $(6)$ ta có:

$P \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})$

$= (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3  \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$ P \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 \geq \frac{27}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})} -3 \geq \frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}} -3 =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinP=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Cảm ơn bạn: 
bạn có thể hướng dẫn mình cách làm của một số bài này nữa không?

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$

TÌm Min:  $P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài 2: cho các số thưc dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài 1:Theo giả thiết ta có:$6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$ $\Leftrightarrow$ $6(a^2+b^2)+20ab=5ab(a+b)+15(a+b)$

$\Leftrightarrow$ $6\frac{a^2+b^2}{ab}+20=5(a+b)+15\frac{a+b}{ab}$ $\Leftrightarrow$ $6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$.

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t \geq 2$,ta có:$6t+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng Côsi ta có:$5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{75(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{75(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}=2\sqrt{75(t+2)}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3t+10 \geq \sqrt{75(t+2)} \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $t \geq \frac{10}{3}$.

Ta có:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2$

         $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}=t^3-3t$

         $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}=t^4-4t^2+2$

Suy ra:$P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

               $=9(t^4-4t^2+2)-16(t^3-3t)+25(t^2-2)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32=f(t)$

Xét hàm số $f(t)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32$ trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ ta có:

$f'(t)=36t^3-48t^2-22t+48$

$f''(t)=108t^2-96t-22$

$f'''(t)=216t-96$

Ta có:$f'''(t)=216t-96 \geq 624 >0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f''(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f''(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3} $

Suy ra,hàm $f'(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f'(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$

Suy ra: $f(t) \geq f(\frac{10}{3})=\frac{14156}{27}$,với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Vậy,$MinP=\frac{14156}{27}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5(a+b)=15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} ab=3 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $(a;b)=(1;3)$ hoặc $(a;b)=(3;1)$

Bài 2:bạn xem tại đây http://diendantoanho...21-frac2a1b1c1/

Bạn nên để ý là tác giả đã sử đề bài, lúc đầu với $a,b,c$ là các số thực thì $2$ bạn trên làm không có gì sai

Còn khi đề bài được sửa là $a,b,c$ không âm thì bài làm của bạn đúng

Thêm lưu ý là ở bài $2$ ta có $xy+z^2\leqslant 1+z\leqslant x+y$

Vì thế $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{xy+z^2}\geqslant \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Bài 2 đơn giản thế này mà không nghĩ ra nhỉ

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị  nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$

Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$

Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:

$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$

Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.

Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$

Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$

Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị

Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$

Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$

Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$

Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$

Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có

$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$

Khảo sát hàm $g(z)$  trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$

Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Biết là thế, nhưng vấn đề luyện tập gặp nhiều vấn đề. Còn bài này thì làm như thế nào bạn

Cho x,y là các số dương sao cho: x³+y³=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)}$

Mình đưa ra hướng giải quyết,còn đoạn cuối bạn tự làm nhá

Theo giả thiết ta có $x^3+y^3=1$ $\Leftrightarrow$ $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=1$.( đối với các bài toán mà giả thiết cho có chứa cả hai thành phần $x+y$ và $xy$ như thế này thì ta cứ đặt $t=x+y$ sau đó biểu diễn thành phần $xy$ theo $t$ nha).

Đặt :$t=x+y,t >1$.Thay vào giả thiết ta có $xy=\frac{t^3-1}{3t}$

Áp dụng Côsi ta có:$xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{t^3-1}{3t} \leq \frac{t^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $t^3 \leq 4$

$\Leftrightarrow$ $ 1 <t\leq \sqrt[3]{4}$.

Ta có:$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} =\frac{(x+y)^2-2xy-1}{1-(x+y)+xy} =\frac{t^2-2\frac{t^3-1}{3t}-1}{1-t+\frac{t^3-1}{3t}}$

$=\frac{t^3-3t+2}{t^3-3t^2+3t-1}=\frac{(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}=1+\frac{3}{t-1}$

Xét hàm số:$f(t)=1+\frac{3}{t-1}$ trên $(1;\sqrt[3]{4}]$

đến đây bạn chỉ cần khảo sát hàm $f(t)$ trên miền đang xét là ra kết qủa bài toán

Kết quả của mình là bài toán đạt $Min$ tại $t=\sqrt[3]{4}$ và khi đó $MinP=f(\sqrt[3]{4})$.

Ok!

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1:nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến $x,y$ có vai trò đối xứng nhau,con biến $z$ có vai trò không đối xứng.

điều này gợi ý cho ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau,loại bỏ đi 1 biến thừa không cần thiết.

Đặt: $x=az,y=bz$,$a,b \in R^+$.Thay vào giả thiết ta có:$a^2+b^2+6=4(a+b)$.

Áp dụng Côsi ta có: $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \frac{(a+b)^2}{2} \leq 4(a+b) -6 \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 \leq a+b \leq 6 \\ ab \leq 2(a+b)-3 \end{matrix}\right.$

Khi đó,ta có: $P=\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}$

$\geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{2}$

Tiếp tục áp dụng Côsi,ta có : $\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{a+1}{8}+\frac{ab+b}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

                                              $\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\frac{b+1}{8}+\frac{ab+a}{8}\geqslant \frac{3b}{4}$

Cộng theo vế các bất dẳng thức trên ta có:

$P \geq \frac{a+b}{2}-\frac{ab}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{a+b}{2}-\frac{2(a+b)-3}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{1}{2}+\sqrt{2}$

Vậy,$MinP =\frac{1}{2}+\sqrt{2}$.Dấu $"="$  xẩy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=1$,hay $x=y=z>0$

Một số bài toán có ý tưởng dặt ẩn phụ tương tự:

$1):$Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z) \leq 5(y+z)^3$(Khối A-2009)

$2):$Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $x,y,z$ ta luôn có:$(x+2y+z)(x+y+z)^2 \geq 4(x+y)(y+z)(z+x)$

Bài 2:Theo giả thiết ta có: $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\(x^2 + y^2 + 1)^{2} - 5(x^2 + y^2 + 1) + 6 = - x^2 - 3x^2y^2 \leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\ 2 \leq (x^2 + y^2 + 1) \leq 3 \end{matrix}\right.$

Ta có: $P=\frac{(x^2+y^2+1)+(y^2-3x^2y^2)-1}{x^2+y^2+1}$

               $=\frac{(x^2+y^2+1)^2-3(x^2+y^2+1)+4}{x^2+y^2+1}$

Đặt: $t=x^2+y^2+1,(2 \leq t \leq 3)$.Khi đó $P$ trở thành:$P=\frac{t^2-3t+4}{t}$

Xét hàm số:$f(t)=\frac{t^2-3t+4}{t},t \in [2;3]$.

   Ta có: $f'(t) =1- \frac{4}{t^2};f'(t)=0$ $\Leftrightarrow$ $t=2 \in [2;3]$

mà $f'(t) \geq 0$ với mọi $t \in [2;3]$.Suy ra,$f(t)$ đồng biến trên $[2;3]$.

Suy ra,$MinP=Minf(t)_{t \in [2;3]} =f(2) =1$,đạt được khi $x=0,y= \pm 1$

           $MaxP =Maxf(t)_{t \in [2;3]} =f(3) =\frac{4}{3}$,đạt được khi $x=0,y=\pm \sqrt{2}$

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x²+y²+6z²=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x²+y²+1)²+3x²y²+1=4x²+5y²

^{Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức} $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 3:Đặt $s=a+b,p=ab$,điều kiện:$s,p>0$

Từ giả thiết ta có:$s+p=3$ $\Leftrightarrow$ $p=3-s$ $(1)$

Áp dụng Côsi ta có:$s^2 \geq 4p$ nên từ $(1)$  $\Rightarrow$ $3-s \leq \frac{s^2}{4}$ $\Rightarrow$ $s \geq 2$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                              $\frac{3s^2+3s-6p}{s+p+1} +\frac{p}{s} \leq s^2-2p+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow$   $\frac{3s^2+9s-18}{4} +\frac{3-s}{s} -s^2-2s=\frac{9}{2} \leq 0$.Do $(1)$

$\Leftrightarrow$   $s^3-s^2+4s-12 \geq 0$

$\Leftrightarrow$   $(s-2)(s^2+s+6) \geq 0$ luôn đúng với mọi $s \geq 2$

Bài này có thể làm bằng cách đưa về 1 biến và sử dụng đạo hàm.

Bài 4:đặt                  $\left\{\begin{matrix}x=a+b-c \\ y=b+c-a \\ z=c+a-b \\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=\frac{x+y}{2} \\ a=\frac{y+z}{2} \\ c=\frac{z+x}{2} \\x+y+z=3 \end{matrix}\right.$

Khi đó biểu thức $P$ trở thành $P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$P=\frac{x^4}{xy+zx}+\frac{y^4}{yz+xy}+\frac{z^4}{zx+yz} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}$

                                                                                                                                        $\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$ (Vì$xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$)

                                                                                                                                        $\geq \frac{(x+y+z)^2}{6}$(Vì $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$)

                                                                                                                                        $=\frac{9}{6}.$

Vậy:$MinP=\frac{3}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra  $\Leftrightarrow$ $x=y=z=a=b=c=1$.

Cho $a,b,c$ là các số dương.Tìm giá trị nhỏ nhất củ biểu thức $A=\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{5c}{a+b}$

Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

Tìm GTLN của biểu thức $A=(x-1)(y-1)(z-1)$

Theo giả thiết ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

               $\Leftrightarrow  \frac{1}{x} \geq 1-\frac{1}{y} +1-\frac{1}{z} =\frac{y-1}{y} +\frac{z-1}{z} \geq 2\sqrt{\frac{(y-1)(z-1)}{yz}}$

               $\Leftrightarrow \sqrt{(y-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{yz}}{2x}$ $(1)$

tương tự ta có: $\sqrt{(y-1)(x-1)} \leq \frac{\sqrt{xy}}{2z}$ $(2)$

                        $\sqrt{(x-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{zx}}{2y}$ $(3)$

nhân theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có $A=(x-1)(y-1)(z-1) \leq \frac{1}{8}$

Vậy,$MaxA=\frac{1}{8}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}\frac{y-1}{y}=\frac{z-1}{z}=\frac{x-1}{x} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =2 \end{matrix}\right.$

                                                                 $\Leftrightarrow$ $x=y=z=\frac{3}{2}$

$1):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                               $A=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$2):$Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

                              

                               $B=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}$

$1):$Cho $a,b,c,d>0$,Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$

$2):$Cho các số thực $x,y$ thoả mãn $(x+y)^2+11=6(x+y)+xy$.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=2x+y$

                           

Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý

  a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$

  b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

 $A=\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$

Cảm ơn các bạn,mình mới học bất đẳng thức nên không biết bđt Holder,bđt cauchy thì đang tìm hiểu,mình chỉ biết dùng đạo hàm để chứng minh bđt,tìm cực trị thôi

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý.Chứng minh rằng

                                      $(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

Bài 2:Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p$ là các số dương.Chứng minh rằng

            $(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3) \geq (axm+byn+czp)^3$