davidhg1719

 

 

Câu 5.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Đườnng tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E, D; BD$ cắt $CE$ tại $H, AH$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ các tiếp tuyến $AM, AN$ của đường tròn $(O)$.
a/ Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$.
b/ Chứng minh 3 đường thẳng $MN, BD, CE$ đồng quy.

 

 

a/ Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AI,BD,CE$ nên dễ dàng suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$

b/ $AMON$ nội tiếp và $AION$ nội tiếp nên suy ra 5 điểm $A,M,I,O,N$ nội tiếp

Mặc khác $AM^{2}=AE.AB=AH.AI$ nên $\angle AHM=\angle AMI$. Tương tự $\angle AHN=\angle ANI$ 

Do đó $\angle AHM+\angle AMI=\angle AMI+\angle ANI=180^{0}$ hay $M, I, N$ thẳng hàng (đpcm)

Xét dãy $(v_{n})$ thoả mãn: $v_{1}=1;v_{2}=2;v_{n+2}=4v_{n+1}+v_{n}$

Thì $v_{n+3}=u_{n}$

Xét dãy $(r_{n})$ là số dư của $(v_{n})$ cho m. Dễ chứng minh dãy $(r_{n})$ là dãy tuần hoàn

Ta cần chứng minh $\exists n\geqslant 4: r_{n}-1\equiv r_{n+1}-2\equiv 0 (mod m)$

Thật vậy, vì dãy $(r_{n})$ là dãy tuần hoàn nên $\exists t: r_{1+t}-1\equiv r_{2+t}-2\equiv 0(modm)$ (đpcm)

n

,∀n≥1

Ta có $r_{n+2}\equiv 3r_{n+1}+r_{n}(mod2013)$

Xét các bộ $(r_{m};r_{m+1})$

Vì số các giá trị của bộ là hữu hạn mà số các bộ là vô hạn nên $\exists t: (r_{m};r_{m+1})=(r_{m+t};r_{m+t+1})$

Từ đó quy nạp ta được đpcm, 

Lưu ý: Có thể tổng quát 2013 bởi 1 số nguyên dương bất kỳ 

Chọn P(x)=x và a=2 

Ta có: $(2^{28k+16})^{3}+(2^{21k+12})^{4}=(2^{12k+7})^{7}$ với mọi $k\epsilon N$

Nên chọn $x=2^{28k+16};y=2^{21k+12};z=2^{12k+7}$ thì phương trình có vô số nghiệm nguyên dương