davidhg1719

 

 

Câu 5.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Đườnng tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt cạnh $AB, AC$ lần lượt tại $E, D; BD$ cắt $CE$ tại $H, AH$ cắt $BC$ tại $I$. Vẽ các tiếp tuyến $AM, AN$ của đường tròn $(O)$.
a/ Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$.
b/ Chứng minh 3 đường thẳng $MN, BD, CE$ đồng quy.

 

 

a/ Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ có 3 đường cao $AI,BD,CE$ nên dễ dàng suy ra $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $DEI$

b/ $AMON$ nội tiếp và $AION$ nội tiếp nên suy ra 5 điểm $A,M,I,O,N$ nội tiếp

Mặc khác $AM^{2}=AE.AB=AH.AI$ nên $\angle AHM=\angle AMI$. Tương tự $\angle AHN=\angle ANI$ 

Do đó $\angle AHM+\angle AMI=\angle AMI+\angle ANI=180^{0}$ hay $M, I, N$ thẳng hàng (đpcm)

Xét dãy $(v_{n})$ thoả mãn: $v_{1}=1;v_{2}=2;v_{n+2}=4v_{n+1}+v_{n}$

Thì $v_{n+3}=u_{n}$

Xét dãy $(r_{n})$ là số dư của $(v_{n})$ cho m. Dễ chứng minh dãy $(r_{n})$ là dãy tuần hoàn

Ta cần chứng minh $\exists n\geqslant 4: r_{n}-1\equiv r_{n+1}-2\equiv 0 (mod m)$

Thật vậy, vì dãy $(r_{n})$ là dãy tuần hoàn nên $\exists t: r_{1+t}-1\equiv r_{2+t}-2\equiv 0(modm)$ (đpcm)

n

,∀n≥1

Ta có $r_{n+2}\equiv 3r_{n+1}+r_{n}(mod2013)$

Xét các bộ $(r_{m};r_{m+1})$

Vì số các giá trị của bộ là hữu hạn mà số các bộ là vô hạn nên $\exists t: (r_{m};r_{m+1})=(r_{m+t};r_{m+t+1})$

Từ đó quy nạp ta được đpcm, 

Lưu ý: Có thể tổng quát 2013 bởi 1 số nguyên dương bất kỳ 

Chọn P(x)=x và a=2 

Ta có: $(2^{28k+16})^{3}+(2^{21k+12})^{4}=(2^{12k+7})^{7}$ với mọi $k\epsilon N$

Nên chọn $x=2^{28k+16};y=2^{21k+12};z=2^{12k+7}$ thì phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

 

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 TỈNH ĐỒNG NAI 2013-2014

 

Câu 1 : 

Giải phương trình $$\sqrt{x^2+x+2}+\sqrt{x^2-x+1}=2x+1$$

 

Câu 2 :

Cho tam giác $ABC$ có các góc thỏa $$cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}=4sin^2C$$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 3 : 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh :

$$\dfrac{a}{a+6bc}+\dfrac{b}{b+6ca}+\dfrac{c}{c+6ab}\geq 1$$

 

Câu 4 : Cho hai số nguyên dương lẻ $m,n$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} n\mid m^2+2\\ m\mid n^2+2 \end{matrix}\right.$

1) Tìm một cặp gồm hai số nguyên dương $(m,n)$ thỏa mãn điều kiện trên mà $m,n>10$ và $m,n$ đều lẻ.

2) Chứng minh $4mn\mid m^2+n^2+2$

 

Câu 5 : Cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $(O)$ là đường tròn nội tiếp tam giác, tiếp điểm trên $AB,AC$ lần lượt là $D,E$. Gọi $M,N$ lần lượt là giao điểm của $OB$ và $DE$, $OC$ và $DE$. 

Chứng minh rằng :

$$MN=BC.sin\dfrac{A}{2}$$

 

Câu 1: Đặt $a=\sqrt{x^{2}+x+2};b=\sqrt{x^{2}-x+1}$, ta được

$a+b=a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow a=b+1\Leftrightarrow x=1$

Cầu 3: $\sum \frac{a}{a+6bc}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+6abc}\geqslant \frac{(\sum a)^{2}}{\sum a^{2}+18abc}\geqslant 1 \Leftrightarrow 2\sum ab\geqslant 18abc\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a}\geqslant 9$ (đúng vì $a+b+c=1$)

Câu 4: 

1/ (11;41)

2/ Gọi d=gcd(m;n) suy ra $2\vdots d\Rightarrow d=1$ (m,n lẻ)

$m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1(mod4)$ nên dễ dàng suy ra dpcm

Câu 5: $\widehat{ONC}=180-\widehat{DEC}-\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{\widehat{B}}{2}$

$\Rightarrow BMNC$ nội tiếp $\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{ON}{OB}=\frac{OD}{OA}=sin\frac{A}{2}$(tam giác OBN đồng dạng tam giác OAD)

Sắp thi Olympic 30-4 rồi. Chúc các bạn thi tốt nhé.

Mình xin góp 1 bài nho nhỏ 

Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(c+a)}+\frac{1}{c^{3}(a+b)}$

Câu 1 : Giải phương trình $$3\left ( \sqrt{2x^2+1}-1 \right )=x\left ( 1+3x+8\sqrt{2x^2+1} \right )$$

 

Câu 2 : Với mọi số nguyên dương $n$, hãy xác định theo $n$ số tất cả các cặp thứ tự hai số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $$x^2-y^2=100.30^{2n}$$. Đồng thời chứng minh số cặp này không thể là số chính phương.

 

Câu 3 : Cho $(O,R)$ và hai điểm $P,Q$ cố định. $P$ nằm ngoài và $Q$ nằm trong $(O)$. Dây cung $AB$ di động qua $Q$ của $(O)$. $PA,PB$ cắt $(O)$ lần lượt tại $C,D$. Chứng minh $CD$ luôn đi qua một điểm cố định

 

Câu 4 : Cho $a,b,x,y>0$ và thỏa $a+b=1,ax+by=2,ax^2+by^2=3$. Chứng minh :

$$4<ax^3+by^3<4,5$$

 

Câu 5 : Cho tập $X$ gồm $n$ phần tử. Hỏi có bao nhiêu bộ thứ tự $(A,B,C)$ với $A,B,C$ là các tập con của $X$ sao cho $$X=A\cup B\cup C$$

Câu 2: 

Theo bài ra, ta có: $(x-y)(x+y)=100.30^{2n}$

Suy ra x+y và x-y đều chẵn.

Đặt $ a=\frac{x+y}{2}; b=\frac{x-y}{2}$, ta được: 

$a.b=2^{2n}.3^{2n}.5^{2n+2}=A$

Số các ước của A là $(2n+1)^{2}.(2n+3)$

Vì $a>b$ nên suy ra số cặp $(x,y)$ thỏa mãn là số cặp $(a,b)$ thỏa mãn là $\frac{1}{2}\left [ (2n+1)^{2}.(2n+3)-1 \right ]=(n+1)(4n^{2}+6n+1)$

Ta sẽ chứng minh $n+1)(4n^{2}+6n+1)$ không thể là số chính phương.

Thật vậy, giả sử $(n+1)(4n^{2}+6n+1)$ là số chính phương. Vì $ gcd(n+1;4n^{2}+6n+1)=1$ nên $4n^{2}+6n+1$ phải là số chính phương.

Vô lý vì $(2n+1)^{2}<4n^{2}+6n+1<(2n+2)^{2} $

Bài 25: Có thể phủ hình vuông có cạnh là 1cm bởi 3 đường tròn có bán kính là 1cm được hay không? giải thích?

Bài 24:

Đặt $y=\sqrt[5]{11x+10}; z=\sqrt[5]{11y+10}$ ta đưa được về hệ đối xứng