simplyAshenlong

3 số nguyên tố bất kì thỏa mãn điều đó hả bạn

Đặt$ a=x-1,5$ thì điều kiện của đề bài cho sẽ trở thành
$(a-1,5)^2 +(a+1,5)^2 \geq 5$
$\Leftrightarrow a^2 \geq 0,25$
Đến đây thì cũng thay $x=a+1,5$ vào A rồi đánh giá thì sẽ ra

Đây là bài mình tham khảo trong cuốn 1001 bài toán sơ cấp
Ta có:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}$

$\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}=2012$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{y}(\sqrt{y}+sqrt{x})=2012-x+y$
$\Leftrightarrow 4y(\sqrt{y}+sqrt{x})^2=(2012-x+y)^2$

$\Leftrightarrow 8048y=(2012-x+y)^2$
Do $8048y=2^4.503y$ mà vế phải là số chính phương nên $y=503k^2$ (với k$\in$N)
Và ......

Bình phương 2 vế của bđt ta cần chứng minh
$a+b+c+2\sum{\sqrt{ab}} \leq a+b+c+\frac{2}{3}(\sum{\sqrt{(a+2b)(b+2c)}})$
hay $3\sum{\sqrt{ab}} \leq(\sum{\sqrt{(a+2b)(b+2c)}}$
mà theo bất đẳng thức Bunhacopxki thì $\sum{(a+2b)(b+2c)} \geq {(b+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})^2}$
suy ra bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về bất đẳng thức quen thuộc $a+b+c \geq \sum{\sqrt{ab}}$
vậy ta có đpcm

chia hình tròn làm 6 phần bằng nhau. mỗi tam giác đều trong mỗi phần đó sẽ có cạnh bằng 1. có 8 điểm mà có 6 tam giác nên có ít nhất 2 điểm cùng nằm trong một phần của hình tròn suy ra đpcm

xét $(x,y,z)=(0,0,0)$ là 1 nghiệm của hệ
nếu 1 trong 3 số khác 0 dễ chứng minh được cả ba số đều khác 0
khi đó hpt trở thành $\left\{\begin{matrix} &x^3=\frac{3}{1+\frac{3}{y}+\frac{3}{y^2}} \\ &y^3=\frac{3}{1+\frac{3}{z}+\frac{3}{z^2}} \\ &z^3=\frac{3}{1+\frac{3}{x}+\frac{3}{x^2}} \end{matrix}\right.$
xét hàm số $f(t)=\frac{3}{1+\frac{3}{t}+\frac{3}{t^2}}$ là hàm đồng biến
không mất tính tổng quát giả sử $x=min(x,y,z)$
khi đó $x \leq y$ và $x \leq z$
suy ra $x^3 \leq y^3$ hay $f(y) \leq f(z)$ suy ra $y \leq z$
tương tự $z \leq y$ suy ra y=z suy ra x=y=z
đến đây thay vào

Bài 1:
Ta có:

$\sqrt {xy}(x-y)=x+y$
$\Leftrightarrow 4xy(x-y)^2=4(x+y)^2$
Mà theo bất đẳng thức $ab \leq \frac {(a+b)^2}{4}$ thì $4xy(x-y)^2 \leq \frac {(x+y)^4}{4}$
suy ra $\frac {(x+y)^4}{4} \geq 4(x+y)^2$
hay $(x+y) \geq 4$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=2+\sqrt{2}$ và $y=2-\sqrt{2}$
 

Ta có:

$2(1)-(2)= x^2 +2xy+y^2 -4(x+y)+4=0$

$\Leftrightarrow (x+y-2)^2=0$
$\Leftrightarrow x+y=2$
Đến đây thay $y=x-2$ vào phương trình (1) hoặc (2) rồi giải nốt nhé bạn

để mình làm lại đề cho bạn
$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy+3y^2-2y-4=0(1) \\ 3x^2+5y^2+4x-12=0(2) \end{matrix}\right.$

Đặt $\sqrt {1-x}=a$ thì $x=1-a^2$

suy ra phương trình 2 trở thành $ 2y^3+y=2a^3+a$ đến đây thì dễ rồi

chuyển vế bình phương trâu bò đi bạn

Ta có:

$x^{3}-y^{3}=(x-y)((x-y)^{2}+3xy)$
Do 2010=2x3x5x67 nên suy ra $(x-y)\vdots 3$ hoặc $((x-y)^2+3xy)\vdots 3$ nếu $(x-y)\vdots 3$ thì $((x-y)^2+3xy)\vdots 3$ suy ra vế trái chia hết cho 3, vế phải không chia hết cho 9 Tương tự với trường hợp kia suy ra vô nghiệm Bạn xem có đúng không Trình gõ latex của mình còn kém mong bạn thông cảm

năm nay đề khá dễ. mình làm hết. trình bày hơi kém