Hermione Granger

$\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ 2x+2y-2xy+z^2=1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}z=x+y-1 & \\  2x+2y-2xy+(1-x-y)^2=1& \end{matrix}\right.$

Viet Hoang 99:

Chú ý: 

________________________

Câu 2.2 mà     

 

 

$\boxed{\text{Đề 5}}$ Năm $2010$ ( Toán chuyên)

 

-----------------------------

 

Câu $1$: Cho phương trình 

 

$x^4+ ax^3 + x^2 + ax + 1 = 0$ với $a$ là tham số . 

 

 $1.$ Giải phương trình với $a = 1$. 

 $2.$ Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng $a^2>2$

 

 

$1.1$ Với $a=1$:

Phương trình trở thành $x^4+x^3+x^2+x+1=0 $(1)

Nhận thấy $x=0$ không phải là 1 nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của (1) cho $x^2$ ta được:

$x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt $y=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \left |y  \right |\geq 2$

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$

Phương trình (2) trở thành:

$y^2+y-1=0$

Giải ra ta được 2 giá trị của y:

Dài hơi quá   

Viet Hoang 99:
Chú ý

 

Bài $3$:

 

Cho mười số nguyên dương $1,2,...,10$. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.

 

 

 

Gọi $10 $số nguyên dương sắp xếp theo thứ tự trong hàng là : $a_{1},a_{2},...,a_{10}$

Ta có $10$ tổng:

$b_{1}=a_{1}+1$

$b_{2}=a_{2}+2$

$.....$

$b_{10}=a_{10}+10$

Khi đó $ b_{1}+b_{2}+...+b_{10} =110 $ là một số chẵn

$\Rightarrow $ Trong các số $b_{1}, b_{2},...,b_{10}$ có số số lẻ là một số chẵn

+Nếu số các số lẻ nhiều hơn $5$ 

Do các số lẻ chỉ có thể có tận cùng là $1,3,5,7 $ hoặc$,9$ nên có ít nhất $ 2 $ số lẻ có chữ số tận cùng giống nhau.

+Nếu số các số lẻ ít hơn $5 $

$\Rightarrow $ Số các số chẵn nhiều hơn 5, do các số chẵn chỉ có thể có tận cùng là $0,2,4,6$ hoặc $8$ nên có ít nhất $2$ số chẵn có chữ số tận cùng giống nhau.

$\Rightarrow  dpcm$

$A=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}=\frac{1}{1+2abc(a+b+c)}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^4}{27}\leq \frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{27}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$

Ngược dấu rồi bạn ơi 

1.

ta có: $\sum \frac{a^2}{1+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{3+2(ab+bc+ca)}\geq$ $\frac{(a+b+c)^2}{3+2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3}{5} $

làm rõ hơn phần này được không bạn ?