Tìm kiếm
Nữ
Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$
Toán thủ ra đề: angleofdarkness
Mình không phải là toán thủ thi đấu
$E=$\frac{1}{x^{3}.\left ( y+z \right )} + \frac{1}{y^{3}.\left ( z+x \right )} + \frac{1}{z^{3}.\left ( x+y \right )} = \frac{\left ( xyz \right )^{2}}{x^{3}.\left ( y+z \right )} + \frac{\left ( xyz \right )^{2}}{y^{3}.\left ( z+x \right )} +\frac{\left ( xyz \right )^{2}}{z^{3}.\left ( x+y \right )} = \frac{\left ( yz \right )^{2}}{x.\left ( y+z \right )} + \frac{\left ( zx \right )^{2}}{y.\left ( z+x \right )} + \frac{\left ( xy \right )^{2}}{z.\left ( x+y \right )}$
Đến đây
C1: $\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )} = \frac{xy+ yz + czx}{2} < Schwarz> \geq \frac{3}{2}$
$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3} Vậy Min E= \frac{3}{2}$
C2: $AM-GM: \frac{\left ( yz \right )^{2}}{x\left ( y+z \right )} + \frac{x\left ( y+z \right )}{4} \geq yz Tương tự với 2 ý còn lại => E \geq \left ( xy+yz+zx \right ) - \frac{xy+yz+zx}{2} = \frac{xy+yz+zx}{2} \geq \frac{3}{2}$
$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3} Vậy Min E = \frac{3}{2}$
C3: Đặt x=ab ; y=bc ; z=ca => $x^{2}y^{2}z^{2} = 1$
Thay vào trên
=> E = $\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b}$ $\geq \frac{3}{2}$ <BĐT Nesbit>
$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3} Vậy Min E = \frac{3}{2}$
* Mở rộng: xyz = 1 => $xyz^{n} = 1$ đi với nhau như ở E
Nên ta có bài toán:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm Min: A = $\frac{1}{x^{n}.\left ( y+z \right )} + \frac{1}{y^{n}.\left ( z+x \right )} + \frac{1}{z^{n}.\left ( x+y \right )}$
