Mary Huynh

Giải phương trình, hệ phương trình.

$a) x^2+8x+8=(2x+3)\sqrt{x^2+4x+6}$

 

Đặt $\sqrt{x^{2}+4x+6}=t $ 
$pt\Leftrightarrow t^{2}-(2x+3)t+4x+2=0\\ \Leftrightarrow (t-2)(t-2x-1)=0\\ \Leftrightarrow\begin{bmatrix} t=2\\ t=2x+1 \end{bmatrix}$
$t=2 \Rightarrow x^{2}+4x+2=0\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{2}$
$t=2x+1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+4x+6=4x^2+4x+1 \\ x\geq \frac{-1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}$

ĐK : $ x \geq \frac{-1}{2} $
$pt\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}(1-x)}{\sqrt{x+1}}+3 \sqrt[3]{(1-x)^{2}}-3(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})(x-1)=0\\ \Leftrightarrow (x-1)( \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}-\frac{3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{3}}+2+\sqrt{3}+3.\sqrt[3]{\frac{1}{1-x}})=0$
Ta có : 

$x\geq \frac{-1}{2}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}\geq -2 \\ -\frac{3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{3}}\geq -\sqrt{3} \\ 3.\sqrt[3]{\frac{1}{1-x}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \end{matrix}\right.\\\Rightarrow \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}-\frac{3}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{3}}+2+\sqrt{3}+3.\sqrt[3]{\frac{1}{1-x}}> 0$
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$

$pt\Leftrightarrow sin^{2}x+ sinx.cos4x + \frac{cos^{2}4x}{4}=\frac{3}{4}(1-cos^{2}4x)\ ( \ do \ cos^{2}x= 1- sin^{2}x)\\\ \Leftrightarrow (sinx + \frac{cos4x}{2})^{2}=\frac{3}{4}.sin^{2}4x \ ( \ cos^{2}x= 1- sin^{2}x)$
Đến đây giải như thường

1) Với x,y là những số thực thỏa mãn $x^{2}y^{2}+2y+1=0$.

Tìm max và min của: P=  $\frac{xy}{3y+1}$

 

$P^{2}(3y+1)^{2}=x^{2}y^{2}=-2y-1 \Leftrightarrow 9P^{2}y^{2}+2(3P^{2}+1)y+P^{2}+1=0$
Nếu $P=0 => (x,y)=(0, \frac{-1}{2})$

$P \neq 0 \Rightarrow \Delta'=-3P^{2}+1\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{-\sqrt{3}}{3}\leqslant P\leqslant \frac{\sqrt{3}}{3}$ 

$\boxed{Đề3}$

 

b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10)})=3$

 

ĐK : $x\geq -2$

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+5}=a\geq 0 \\ \sqrt{x+2}=b\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}-b^{2}=3 \\ (a-b)(1+ab)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=b => x+5=x+2(VN) \\ a=1=> x=-4 (ktm) \\ b=1=>x=-1(t,) \end{bmatrix}$

$\boxed{Đề 1}$

 

      2. Giả sử $x,y,z$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\ x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+3z=1 \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: $0\leq z\leq \frac{1}{4}$

 

ĐK : $x,y \geq0$

$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+3z=1 \Rightarrow 3z=1+\sqrt{xy}-(x+y)\leq 1+\frac{x+y}{2}-(x+y)=1-\frac{x+y}{2}\leq 1-\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}{4}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow z\leq \frac{1}{4}$

Tìm MAX,MIN 

$A=\frac{a+b}{(a^3+3)(b^2+3)}$

với a,b là số thực

Max :http://www.wolframal...a^3+3)(b^2+3)}}

Min :http://www.wolframal...a^3+3)(b^2+3)}}

^{Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất}

^{b $B=(x-1)^2+ (y+2)^2+(x+y)^2$}

 

$B=2x^{2}+2y^{2}-2x+4y+2xy+5$

  $=2(x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{1}{4}+xy-x-\frac{1}{2}y)+\frac{3}{2}(y^{2}+\frac{10}{3}+\frac{25}{9})+\frac{1}{3}$

  $=2(x+\frac{y}{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{2}(y+\frac{5}{3})^{2}+\frac{1}{3}\geq \frac{1}{3}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 20\frac{y}{x^{2}}+11y=2015 (1)& \\ 20\frac{z}{y^{2}}+11z=2015(2) & \\ 20\frac{x}{z^{2}}+11x=2015 (3)& \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra $x,y,z> 0$

Vì vai trò của $x,y,z$ như nhau giả sử $x\geq y\geq z> 0$

Từ  $(1)\rightarrow 2015 =20\frac{y}{x^{2}}+11y\leqslant 20\frac{x}{x^{2}}+11x=\frac{20}{x}+11x$    $(y \leq x)$

Từ $(3)\rightarrow 2015=20\frac{x}{z^{2}}+11x\geqslant 20\frac{x}{x^{2}}+11x=\frac{20}{x}+11x$     $(x \geq z)$

$\Rightarrow x=y=z$

...................

Ta có :    $2=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geqslant 2\sqrt{\frac{2}{xy}}\rightarrow \sqrt{\frac{2}{xy}}\leq 1\rightarrow xy\geqslant 2$

$5x^{2}+y-4xy+y^{2}=(2x-y)^{2}+ x^{2}+y\geqslant x^{2}+y\doteq x^{2}+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(xy)^{2}}{4}}\geqslant 3$

Dấu  $'='$ xảy ra $x=1; y=2$

 

Bài 2:tìm các số có hai chữ số $\overline{ab}$ thỏa mãn $\frac{ab}{a-b}$ là số nguyên tố

 

Tớ copy sách thôi   

$\rightarrow a>b$

Đặt  $\frac{ab}{a-b} =p$ 

$\Rightarrow (a+p)(p-b)=p^{2}\rightarrow a+p=p^{2} ; p-b=1$

Vì $1\leqslant a\leqslant 9 \rightarrow 1\leq p\leq 3$

  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                   KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

          QUẢNG NGÃI                                                                          Ngày thi : 24/3/2015

                                                                                                         Môn : Toán

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                            Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm )

a) Với a,b là các số nguyên .CMR  : Nếu $4a^{2}+3ab-11b^{2}$ chia hết cho $5$ thì $a^{4}-b^{4}$ chia hết cho 5

b) Tìm các số nguyên tố $p$ để $p^{2} +2^{p}$ cũng là số nguyên tố

c) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số tự nhiên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Bài 2 :(4,0 điểm) 

a) Giải phương trình : $\frac{3x}{\sqrt{3x+10}}=\sqrt{3x+1}-1$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}xy+x+y=3 \\ \frac{1}{x^{2}+2x}+\frac{1}{y^{2}+2y}=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Bài 3 : (4 điểm )

a) Cho ba phương trình ( ẩn x):

$ x^{2}-2ax+bc=0 $ (1) , $ x^{2}-2bx+ca=0$ (2),  $x^{2}-2cx+ab=0$ (3)

CMR  trong ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm

b) Tìm GTNN  của biểu thức $A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x} +1$

Bài 4 : (4 điểm )

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Trên cũng nhỏ BC lấy điểm M ( M khác B,C ).Gọi H,I,K lần lượt là điểm đối xứng của m qua AB,BC,AC.

a) Chứng minh ba điểm H,I, K thẳng hàng 

b) Tìm vị trí của điểm M để HK lớn nhất

Bài 5 

1) Cho đường tròn tâm (O;R) và điểm A cố định sao cho OA=2R .Một đường thẳng d quay quanh điểm A ( không đi qua tâm O) và cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt M, N  (M nằm giữa 2 điểm A,N)

a) Tính diện tích tam giác AON theo R khi M là trung điểm AN

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MON  luôn đi qua 1 điểm cố định (khác điểm O) 

2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC, biết rằng $\widehat{MAB}=15^{\circ}$ và $\widehat{MAC}=30^{\circ}$

Có phải $PT \Leftrightarrow (x+y)[x^{2}+y^{2}-12(x+y)]=-24$??

Dễ dàng suy ra $x+y \vdots 2$

Giảm được 4 TH rồi

Kẻ bảng ra cho nó dễ làm trình bày cũng ngắn nữa .......

Rồi xét tiếp .....

giải bằng pp chọn điểm rơi cói dk hk p

Dự đoán dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{1}{4}$

Khi đó : $2a+b=\frac{3}{4}$ Rồi nhân thêm vào thôi....

2)cho a,b,c,d>0 thoả mãn : a+b+c+d=1

Tim max của p = $\sqrt[3]{2a+b}+\sqrt[3]{2b+c}+\sqrt[3]{2c+d}+\sqrt[3]{2d+a}$ 

$\sqrt[3]{2a+b}=\sqrt[3]{(2a+b).\frac{3}{4}.\frac{3}{4}}.\sqrt[3]{\frac{16}{9}}\leqslant \frac{2a+b+\frac{3}{2}}{3}\sqrt[3]{\frac{16}{9}}= \frac{2\sqrt[3]{162}}{27}(2a+b+\frac{3}{2})$

Tương tự .

.

.

$\Rightarrow P\leqslant \frac{2\sqrt[3]{162}}{27}[3(a+b+c+d)+6]=\frac{2\sqrt[3]{162}}{3}$

Vậy $P_{Max}=\frac{2\sqrt[3]{162}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}$