fifa

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+x\leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}+\frac{1}{27\sqrt{xyz}}$

Bài1:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thoả mãn $x+y=26\sqrt{x-3}+3\sqrt{y-2013}+2016$. Tìm min, max:

$M=(x-1)^2+(y-1)^2+\frac{2016+2xy\sqrt{x+y+1}}{\sqrt{x+y+1}}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{4a}{b}(1+\frac{2c}{b})+\frac{b}{a}(1+\frac{c}{a})=6$. Tìm min:

$P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab}{c(2a+b)}$

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$

Bài 1:

Tìm số tự nhiên $n$ có dạng $n=2^p.3^q$ sao cho $n+25$ là số chính phương.

Bài 2:

Cho dãy gồm 101 số nguyên dương: $a_1< a_2< a_3< ....< a_1_0_1< 5050$

Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại 4 số sao cho: $a_k+a_l-a_m-a_n\vdots 5050$

Chứng minh rằng tồn tại vô số các số $n\in \mathbb{N}^*$ sao cho:

$a^n-1\vdots n$ với $a\in \mathbb{N}^*,a>2$ cho trước.

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{a}{\sqrt{b^2+3c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+3a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+3b^2}}\geq \frac{3}{2}$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc$=1. Chứng minh:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq a+b+c$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh:

$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}\leq 5$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh:

$\frac{1}{a\sqrt{3a+2b}}+\frac{1}{b\sqrt{3b+2c}}+\frac{1}{c\sqrt{3c+2a}}\geq \frac{3}{\sqrt{5abc}}$

Ta có : $$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} =1 (1)\\ 8^9x^3y^4z^2 =1 (2)\end{matrix}\right.$$

Áp dụng BĐT AM-GM 8 số :

$$1-\frac{x}{x+1}=\frac{2x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1}\Rightarrow \frac{1}{x+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}$$

Tương tự : $\Rightarrow \frac{1}{z+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}$

$$\frac{1}{y+1}\geq 8\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}$$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left (\frac{1}{x+1} \right )^3\geq 8^3\sqrt[8]{\frac{x^2y^4z^2}{(x+1)^2(y+1)^4(z+1)^2}}^3\\ \left (\frac{1}{z+1} \right )^2\geq 8^2\sqrt[8]{\frac{x^3y^4z}{(x+1)^3(y+1)^4(z+1)}}^2\\ \frac{1}{y+1}^4\geq 8^4\sqrt[8]{\frac{x^3y^3z^2}{(x+1)^3(y+1)^3(z+1)^2}}^4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 1\geq 8^9x^3y^4z^2$$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{8}$

Bạn ơi, AM-GM thì các số phải không âm nhưng đề bài chưa cho $x,y,z>0$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{x+1}+\frac{4y}{y+1}+\frac{2z}{z+1} &=1 \\ 8^9x^3y^4z^2 &=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

     $\left\{\begin{matrix} (x+2)^2+(y+3)^2 &=(y+3)(x+z-2) \\ x^2+5x+9z-7y-15 &=-3yz \\ 8x^2+8y^2+18xy+18yz &=-84x-72y-24z-176 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình:

         $\left\{\begin{matrix} x^2(y+z)^2 &=(3x^2+x+1)y^2z^2 \\ y^2(z+x)^2 &=(4y^2+y+1)z^2x^2 \\ z^2(x+y)^2 &=(5z^2+z+1)x^2y^2 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình sau:
1) (VMO-04):

     $\left\{\begin{matrix} x[x^2+(y-z)^2] &=2 \\ y[y^2+(z-x)^2] &=16 \\ z[z^2+(x-y)^2] &=30 \end{matrix}\right.$

2)

      $\left\{\begin{matrix} x+2y+2\sqrt{4x+y} &=1 \\ 2(x+3) &=\sqrt{46-2y(3+8x+8y)} \end{matrix}\right.$