cucuong567

hình như bài 4 phải là nghiệm nguyên dương chứ nhỉ

câu 3: Giả sử $0\leq a< b< c\leq 2$

Đặt $a-b=x;b-c=y\Rightarrow x+y=a-c\leq 2$

Từ đó dùng cô-si để c/m

à mà tại sao không dùng bu-nhi-a-cốp-xki cho khỏe nhỉ

như các bạn jokerlegend, cũng đặt a,b

Nhưng ta c/m : (a²+2)(2+1)>=2(a+1)²

                         (b²+2)(2+1)>=2(b+1)²

^{=>......................................}                       

không  biết cách sau đây có đúng không, nhưng tôi đăng lên để mọi người tham khảo

gọi các số đó là x1,x2,.......,x2014

=> x1+x2+x3+.....+x2014=4028

giả sử không có tổng nào=2014=> không có tổng nào chia hết cho 2014( vì 0<tổng đó<4028)

xét 2014 số  sau;

x1

x1+x2

x1+x2+x3

.....

x1+x2+x3+......+x2013

x1+x3

thì theo điều giả sử thi ta sẽ có 2014 tổng đó khi chia cho 2014 có 2013 số dư

=> tồn tại ít nhất 2 tổng có cũng có cùng số dư khi chia cho 2014

nếu hai tổng đó không phải là cặp x1+x3 và x1+x2 thì ta có hiệu của chúng chia hết cho 2014 => trái với giả sử

nếu hai tổng đó là x1+x3 và x1+x2 thì x3-x2 chia hết cho 2014=> x3 đồng dư với x2(mod 2014)=> x3=x2( vì 0<x2,x3<2014)

tương tự xét các các số sau:

x2

x2+x3

x2+x3+x4

....

x2+x3+...x2014

x2+x4

=>x3=x4

tương tự xét như vậy cho đến xét các số sau

x2014

x2014+x1

x2014+x1+x2

...

x2014+x1+...+x2012

x2014+x2

=>x1=x2

vậy x1=x2=...=x2014=4028:2014=2

=>x1+x2+...+x1012=2014=>vô lí 

do đó điều giả sử sai => đpcm

hình hơi nhỏ các bạn thông cảm

(lần đầu tiên post bài lên có gì sai xin các bạn bỏ qua (dưới đây chỉ là định hướng thôi!))

Mình chỉ chứng minh câu b và câu c thôi

b)

(I) và (O) cắt nhau tại K và F

DE cắt (O) tại K'

Khi đó: ∠FKD=∠FMD

Mà ∠FMD=∠FAE

Và ∠FAE=∠FK'E

Do đó: ∠FKD=∠FK'E

Do đó K trùng K' ( vì cùng là giao điểm của cung chứa góc FAE dựng trên đoạn FD và (O) )

Khi đó KE//BC

mà ∠FKE=∠EAF:cố định

Và OI vuông góc với FK

=>...............................

c) Ta dễ dàng c/m tam giác FIO đồng dạng với tam giác FDE(g-g)

=>(IO/DE)=(FO/FE)=(√(3)/3)

=>IO=(√(3)/3).DE

Như vậy chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của DE hay nói cách khác là MN

Từ đó ta sẽ có bài toán : Quay 1 góc 60 độ quanh A cắt đoạn thẳng BC cố định tại M,N. Tìm minMN

Giả sử AM>= AN

Vẽ ∠HAK= 60°/△HAK đều

Ta c/m HK là đoạn nhỏ nhất cần tìm

hay nói cách khác là MN>=HK.

Để c/m điều này ta chỉ cần c/m S[MAH]>=S[NAK]

hay 1/2. AM.AH.sinMAH>=1/2.AN.AK.sinNAK

<=>AM>=AN(đúng với đk trên)

( vì AM=AN, ∠MAH=∠NAK=60°-∠HAN)

=> min MN là HK <=> M trùng H, N

trùng K

Sau đó áp dụng vào bài toán trên

( bài toán phụ trên cũng có thể là một cách để c/m tanα+tanβ>=(1/2)tan(α+β)

(hai góc α và β đều nhỏ hơn hoặc bằng 45°))