sinhvienbkhn58

$y"-2y'+y=\frac{e^{x}}{x}$

Mình giải:

PT đặc trưng: $k^{2}-2k+1=0$

k=1

Nghiệm PT không thuần nhất: $y=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}$

Giải hệ tìm nghiệm PT không thuần nhất dạng:

$y^{*}=C_{1}(x)e^{x}+C_{2}(x)xe^{x}$

Ta giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} C_{1}'e^{x}+C_{2}'xe^{x}=0 & \\ C_{1}'e^{x}+(1+x)C_{2}'e^{x}=\frac{e^{x}}{x}& \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được nghiệm: $y^{*}=xe^{x}+\frac{e^{x}}{x}$

Vậy nghiệm của PT là: 

$y=C_{1}e^{x}+C_{2}xe^{x}+ xe^{x}+\frac{e^{x}}{x}$

Làm vậy đúng không?

Đoạn giải hệ ra $C{}'_{1}\left ( x \right )=-1$

                          $C{}'_{2}\left ( x \right )=\frac{1}{x}$

Suy ra               $C_{1}\left ( x \right )=\int -dx=-x$

                          $C_{2}\left ( x \right )=\int \frac{1}{x}dx=lnx$

nghiệm riêng $y\ast =-xe^{x}+lnx\cdot x\cdot e^{x}$

a) xét chuỗi hàm $S(x)= \sum_{1}^{\infty }\frac{2^{n}(n+1)x^{n}}{n!}$

lấy tích phan bất định. ta có nguyên hàm của S(x) là

$F(x)=\frac{1}{2}\sum_{1}^{\infty }\frac{(2x)^{n+1}}{n!}=x\sum_{1}^{\infty }\frac{(2x)^{n}}{n!}$

mà $e^{x}=\sum_{1}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}+1$ (khai triển Maclaurin)

nên $F(x)=x(e^{2x}-1)$

suy ra $S(x)=F{}'(x)$=$e^{2x}+2e^{2x}x-x$

tổng cần tính bằng S(1)= $3e^{2}-1$

................................................................................................................................................

@Mrnhan:

 

Câu a mình làm tương tự như trên.

 

Xét $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n!}=xe^{x}$

 

Đạo hàm 2 vế theo x, ta có $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)x^n}{n!}=(x+1)e^x$

 

Khi cho $x=2\to S=3e^2$

 

Câu b làm tương tự câu a.

 

Xét $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$

 

Khi cho $x=2\to S=e^2$

 

P.s: Giờ mới ôn lại giải tích 3. Chú hỏi lúc này có hay hơn ko?

 

Lưu ý: Mình làm trên là cho $n=0$ nha

b) nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là:

$y=C\cdot e^{\int -cosx}dx=C\cdot e^{-sinx}=\frac{C}{e^{sinx}}$

Có $C(x)=\int \frac{1}{2}sin2x\cdot e^{\int cosxdx}dx$ +K

$C(x)=\int sin(x)cos(x)e^{sinx}dx$ + K

Đặt t=sinx ta có $C(t)=\int te^{t}dt$ + K

$C(t)=te^{t}-\int e^{t}dt$ + K

$= e^{t}(t-1)$ + K

vậy C(x)=$e^{sinx}(sinx-1)$ + K

thay vào có $y= (sinx-1)+\frac{K}{e^{sinx}}$

a) Điều kiện $x\neq 0$ và $dx\neq 0$

chua 2 vế cho x có $y{}'-\frac{y}{x}=tan(\frac{y}{x})$

đặt $u=\frac{y}{x}$ suy ra $y{}'=u{x}'+u$

thay vào phương trình ta có:

$u{}'x+u-u=tan(u)$

hay $xdu= tan(u)dx$

xét $tan(u)\neq 0\Leftrightarrow u\neq k\Pi$

có $\frac{du}{tanu}=\frac{dx}{x}$

tích phân 2 vế có

$ln(sinu)=ln(x)+ln(C)$

hay $sin{u}=x+C$

$sin(\frac{y}{x})=x+C$ là nghiệm tổng quát

xét tan(u)=0 hay $u=k\Pi$ khi đó $y=k\Pi x$ thay vào pt thấy thoả mãn nên là một nghiệm kì dị .

Tìm miền hội tụ của chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{2n+3}$

Giải càng chi tiết càng tốt

chuỗi lũy thừa có $a_{n}=\frac{1}{2n+3}$

$\lim_{n \to \infty }\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\lim_{n \to \infty }\left | \frac{2n+3}{2n+5} \right |=1$

suy ra bán kính hội tụ R=1

-Chuỗi hội tụ khi $\left | x \right |< 1\Leftrightarrow -1< x< 1$

-chuỗi phân kì khi $\left | x \right |> 1\Leftrightarrow x< -1$ hoặc $x> 1$

-xét x=1 ta có chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2n+3}$ là chuỗi phân kì ( dùng tiêu chuẩn so sánh thứ 2 với $v_{n}=\frac{1}{n}$)

 xét x=(-1) ta có chuỗi đan dấu thỏa mãn tiêu chuẩn lebnid nên là chuỗi hội tụ

vậy miền hội tụ $\left [ -1;1 )$

Giải phương trình vi phân sau:

$y'+2y=4x$

$y'+2y=4x$

=>$dy=(4x-2y)dx$ do $dx\neq 0$

Đặt $u=2x-y$ =>$du=2dx-dy$

$dy=du-2dx$

thay vào phương trình ta có:

$2dx-du=2udx$\

$(2-2u)dx=du$

với u\neq1 có

$dx=\frac{du}{2-2u}$

lấy nguyên hàm hai vế có

$x+c_{1}=-\frac{1}{2}ln(2-2u)$

$-2x+c_{2}=ln(-2u+2)$ với c2=-2c1

$-2x+c_{2}=-4x+2y+2$

e mũ 2 vế có

$e^{-2x+C_{2}}=-4x+2y+2$

$y=2x+Ce^{-2x}-1$ với C=e mũ c2

xem cách này của em thế nào ạ