Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Chris yang

Đăng ký: 26-03-2014
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: $\int\frac{dx}{2^{x}+1}$

20-12-2016 - 22:57

Tìm A = $\int\frac{dx}{2^{x}+1}$

Đặt $t=2^x+1$ thì $dt=\ln 2 (t-1)dx$

$\Rightarrow A=\frac{1}{\ln 2}\int \frac{dt}{t(t-1)}=\frac{1}{\ln 2}\int \left ( \frac{1}{t-1}-\frac{1}{t} \right )dt=\frac{1}{\ln 2}(\ln|t-1|-\ln|t|)+c$


Trong chủ đề: Cho $k$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại các số nguy...

21-10-2016 - 16:39

Cho $k$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $x, y$ không số nào chia hết cho 3 sao cho $x^{2}+3y^{2}=3^{k}.$

$x^2=3^k-3y^2$ chắc chắn chia hết cho $3$ rồi còn gì @@


Trong chủ đề: Tìm tất cả các số nguyên dương $(q, r, p),$ với $p$ l...

16-10-2016 - 22:02

Tìm tất cả các số nguyên dương $(q, r, p),$ với $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $2^{q}+r^{2}=2p.$

Dễ thấy $p$ lẻ

Từ PT suy ra $r$ chẵn $\Rightarrow 4|r^2$. Thấy $2^{q-1}=p-\frac{r^2}{2}$ lẻ do $p$ lẻ nên $q-1=0\Rightarrow q=1$

Khi đó $r^2=2(p-1)\Rightarrow p-1=2^{2k+1}x^2$ với $k,x\in\mathbb{N}$ hay $p$ có dạng $2^{2k+1}x^2+1$ ( Theo nguyên lí Dirichlet về sự tồn tại vô số số nguyên tố dạng $ak+b$ thì $p$ có vô số giá trị thỏa mãn $3,19,73,163,883....$)

 Vậy $(p,q,r)=(2^{2k+1}x^2+1,1,2^{k+1}x)$ với $k,x\in\mathbb{N}$


Trong chủ đề: Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n...

16-10-2016 - 16:49

Tính chất cơ bản: Ước nhỏ nhất (khác $1$) của một số $a$ là một số nguyên dương không vượt quá $\sqrt{a}$. 

Từ đây, suy ra nếu $S(n)$ là ước nguyên dương lớn nhất khác $n$ thì $S^2(n)\geq n$ Suy ra nếu $n$ có $t$ chữ số, khi đó điều kiện cần là $(9t)^2\geq 10^{t-1}$. Khi đó dễ CM $t<5$ bằng quy nạp.

+) Nếu $t=4$, $n=\overline{a_1a_2a_3a_4}$, $n\leq 36^2=1296$ nên $a_1=1\Rightarrow n\leq (1+9+9+9)^2=784$ ( vô lý)

+) Nếu $t=1$ thì hiển nhiên vô lý.

+) Nếu $t=2$ Đặt $n=\overline{a_1a_2}$. Cần có $10a_1+a_2=k(a_1+a_2)$, trong đó $k$ là số nguyên tố nhỏ hơn $\sqrt{99}$, tức là $k\leq 9$

Thay $k=2,3,5,7$ vào $\rightarrow a_1,a_2...$

+) Nếu $t=3$ có $\overline{a_1a_2a_3}\leq 729$ nên $a_1\leq 7\rightarrow n\leq (6+9+9)^2=576\Rightarrow a_1\leq 5\rightarrow n\leq 22^2=484$ nên $a_1\leq 4$

Giờ chỉ cần thử các giá trị $a_1=1,2,3,4$ và tiếp tục làm như TH $t=2$ nhưng với biến $a_2,a_3$ ta sẽ tìm được $n$ thỏa mãn.


Trong chủ đề: Tìm các số a,b sao cho $a^b=b^a$

16-10-2016 - 00:08

Tìm các số số tự nhiên $a,b$ sao cho $a^b=b^a$

Với $a=b\in\mathbb{N}$ thì bài toán luôn đúng. Xét $a\neq b$. Giả sử $a>b$.

Đặt $a=p_1^{m_1}p_2^{m_2}....p_k^{m_k}$ với $p_i\in\mathbb{P}$ và $m_i\in\mathbb{N}$. Từ đó kéo theo $b=p_1^{n_1}p_2^{n_2}....p_k^{n_k}$

Vì $a^b=b^a$ nên $\frac{a}{b}=\frac{m_i}{n_i}=\prod_{1}^{k}p_i^{m_i-n_i}>1$

Giả sử $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $a$ và $b$, hiển nhiên $\frac{m}{n}\geq p^{m-n}\Rightarrow m\geq np^{m-n}$

$\Rightarrow m-n\geq n(p^{m-n}-1)\geq p^{m-n}-1$ $(\star)$

Ta sẽ CM với $x\geq 1\in\mathbb{N}$, $p\in\mathbb{N}^*$ thì $p^x\geq (p-1)x+1$ $(1)$ bằng quy nạp. Giả sử điều này đúng với $x=t$, tức là $p^t\geq (p-1)t+1$, khi đó $p^{t+1}=p.p^t\geq p(p-1)t+p=(p-1)(t+1)+1+t(p-1)^2\geq (p-1)(t+1)+1$, tức là điều này đúng với cả $x=t+1$, do đó $(1)$ được CM. Dấu $=$ xảy ra khi $x=1$

 

Quay trở lại bài toán, với $m-n\geq 1$, ta có $p^{m-n}\geq (p-1)(m-n)+1$. Kết hợp với $(\star)$ suy ra $p=2$ thỏa mãn kéo theo. Dấu $=$ xảy ra khi $m-n=1$. Hơn nữa ta cũng thu được $\frac{m}{n}=2$ nên $m=2,n=1$, hay $(a,b)=(4,2)$

Vậy $a=b$ hoặc $(a,b)=(4,2)$ và các hoán vị