Chris yang

Với $x,y\leq 1= > \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}< = > (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2(1-\sqrt{xy})\geq 0$(Luôn đúng)

Theo Cauchy-Swatch có;$\sqrt{\frac{1}{a^3+1}}+\sqrt{\frac{1}{b^3+1}}+\sqrt{\frac{1}{b^3+1}}\leq \sqrt{3(\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{b^3+1})}\leq \sqrt{3(\frac{3}{1+ab^2})}=\frac{3}{\sqrt{ab^2+1}}$

Lập các bđt tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM

Anh ơi tại sao từ bđt $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}\leq \frac{2}{\sqrt{xy}+1}$ lại suy ra đc 

$\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{b^3+1}\leq \frac{3}{1+ab^2}$ chỉ em với em cảm ơn ạ

Mở rộng BĐT 30/4/2014

Cho $a,b,c$ là các số dương và k là một số dương bất kì. CMR

$\sum \frac{a}{\sqrt{ka^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq \sqrt{\frac{9}{k+2}}$

Theo em thì vẫn như cách làm bài trên, ta sẽ đi chứng minh

$\sum \frac{b^2+c^2}{ka^2+b^2+c^2}\geq \frac{6}{k+2}$

Sau đó áp dụng Bđt Cauchy- Schwarz thì ta có$\sum \frac{b^2+c^2}{ka^2+b^2+c^2}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum (b^2+c^2)(ka^2+b^2+c^2)}$

$=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2+(2k-2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$

$\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{\frac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{3(k+2)}}=\frac{6}{k+2}$

Bài toán đc cm xong :v

Cho $x,y,z > 0$ thỏa mãn $x+y+z=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của $ A = x^{2} + y^{2} + 4z^{2} $
ko hiểu sao cứ mỗi cách giải tôi lại có 1 kq khác

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

$x^2+\frac{4^2}{9^2}\geq \frac{8x}{9}$

$y^2+\frac{4^2}{9^2}\geq \frac{8y}{9}$

$4z^2+\frac{2^2}{9^2}\geq \frac{8}{9z}$

Cộng theo vế suy ra $x^2+y^2+4z^2\geq \frac{8}{9}(x+y+z)-\frac{4}{9}=\frac{4}{9}$

Dấu $=\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{4}{9} & \\ z=\frac{2}{9} & \end{matrix}\right.$

Biến đổi ngược dâu ta thấy bất đẳng thức cần chứng minh

$\Leftrightarrow \frac{9}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}+\sum \frac{2bc}{1+bc}\leq 6$

Mà theo bđt Cô-si thì $\sum \frac{2bc}{1+bc}\leq \sum \frac{2bc}{2\sqrt{bc}}=\sum \sqrt{bc}$

Vậy nên ta sẽ chứng minh $\sum ab+\frac{9}{\sum \sqrt{a}}\leq 6$

Lúc này đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\Rightarrow x^2+y^2+z^2=3$

và cần chứng minh $xy+yz+xz+\frac{9}{x+y+z}\leq 6$

Đến chỗ này thì em bí quá không biết phải làm ntn. Mọi người thử giải tiếp đi 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+5y=6\\ x^2y^2+5x=6 \end{matrix}\right.$

Sửa lại thì giải cũng không khác là mấy 

Từ $(1)$ cho $2$ thì ta có

$x^2(x^2-y^2)-5(x-y)=0\Leftrightarrow x^2(x+y)(x-y)-5(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^3+x^2y-5)=0$

Đến đây thì dễ rồi

Xét $x=1\Rightarrow y=2$

Xét $x\geq 2$

PT$\Leftrightarrow 5^{x}=2^{y}+1=(3-1)^{y}+1=3M-1+1=3M$(M là số tự nhiên)

vế trái không chia hết cho 3, vế phải chia hết cho 3

nên pt vô nghiệm

Mình không hiểu chỗ này của bạn lắm 

Chưa chắc $2^y+1\vdots 3$

vì $2^y+1\equiv (1-)^y+1\equiv 0(mod 3)\Leftrightarrow y$ lẻ thôi còn $y$ chẵn thì đâu có đúng

Ở đây theo mình nên xét $y$ chẵn $y$ lẻ sẽ đúng hơn

P/s: ý kiến cá nhân