QuynhTam

Xếp 5 nam lên bàn tròn có 4! cách (vì đầu tiên lấy 1 bạn làm mốc)

Sẽ có 5 khoảng trống giữa các bạn nam. Xếp 3 bạn nữ vào đây (mỗi chỗ nhiều nhất 1 bạn) có $A_{5}^{3}\textrm{}$

Vậy có 1440 cách sắp

Mình cũng làm cách giống bạn nhưng mà nó bị trùng, bạn thử vẽ bài này nhưng trường hợp xếp 3 nam, 2 nữ đi, nó có 6 cách xếp à.

b, $BĐT\Leftrightarrow \frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{b^2+2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{c^2+2}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq 1$

Áp dụng C-S ta có $\sum \frac{a^2}{a^2+2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+6}=\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2\sum ab}=1$

a,

Có $\frac{1}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}$ nên BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq \frac{1}{2}$

Mà $3a^2+ab+bc+ac=a(a+b+c)+(2a^2+bc)$ nên ta có:

$\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ac}\leq  \frac{a}{a+b+c}+ \frac{a^2}{2a^2+bc}$

Tương tự có đpcm

Bạn làm rõ khúc này dùm mình được ko? Mình thấy $\frac{a^2}{2a^2+bc}$ chưa bị triệt tiêu?

Áp dụng Cô-si:

$​VT \leq x+1\rightarrow x^2-x+2\leq x+1\Leftrightarrow (x-1)^2\leq 0\rightarrow x=1$
 

Bạn làm rõ khúc Cô-si dùm mình được ko? Mình cũng thử mà ra $VT\leq x^2+1$

PT này nghiệm khá lẻ.

Là nghiệm của PT $50x^5-16x^4+225x^3-24x^2-9(wolfram)$

Có khi nào bạn viết sai đề bài không?

Bài này là bài tập mình được giao, để mình hỏi rồi có gì edit lại, thanks

Tìm max: A = $\left | \sqrt{x^{2}+8x+20}-\sqrt{x^{2}+4x+40} \right |$

Áp dụng BĐT phụ: $\left [ \sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}  \right ]^2\leq (a-c)^2+(b-d)^2$ với mọi a,b,c,d ( tự chứng minh bằng tương đương )

Ta có:$\left ( \sqrt{(x+4)^2+2^2}-\sqrt{(x+2)^2+6^2} \right )^2\leq (x+4-x-2)^2+(2-6)^2$

          $<=>A^2\leq 20$

          $=>A\leq 2\sqrt{5}$

Dấu"=" xảy ra khi $6(x+4)=2(x+2)$

                             $<=> x=-5$