bluered

$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=1+2xy\geq 1$

$\Rightarrow$ min  x+y=1 khi $ \begin{bmatrix} x=0;y=1 & \\ x=1;y=0 & \end{bmatrix}$

Cảm ơn bạn nhiều!

Cho hình vuông ABCD và MNPQ có 4 đỉnh M,N,P,Q nằm trên AB,BC,CD,DA .  CMR $MN\geq \frac{AC}{2}$

$MN^2=MB^2+BN^2\geq\frac{1}{2}(MB+BN)^2=\frac{1}{2}a^2$ Trong đó a là cạnh hình vuông

Mà $AC^2=2a^2$ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

cho đường tròn đường kính AB,  C và D là 2 điểm khác nhau thuộc đường tròn ( C và D không trùng A và B)

gọi E và F là các điểm thuộc đường tròn sao cho

$CE\perp AB$

và $DF\perp AB$

CMR: CF, ED, AB đồng quy

giải giúp mình đi thanks nhìu nhìu

Không mất tính tổng quát, giả sử C, D cùng thuộc một cung AB của đường tròn. Khi đó vì CE//DF nên cung CD = cung EF. Suy ra góc EDF = góc CFD. Do đó gọi I là giao của CF và DE thì tam giác DIF cân tại I. Từ đó suy ra điều phải c/m.

cho tam giác $ABC$ nhọn, các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.

Chứng minh rằng $\frac{HA}{BC}+ \frac{HB}{AC}+ \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}

$\frac{HA}{BC}+ \frac{HB}{AC}+ \frac{HC}{AB} \geq \sqrt{3}\Leftrightarrow (\frac{HA}{BC}+ \frac{HB}{AC}+ \frac{HC}{AB})^2 \geq3$

Mà 

Bài này mình làm thế này mọi người xem ổn không nhé :

$A=\frac{3}{xy+yz+zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{6}{2xy+2yz+2zx}+\frac{2}{x^2+y^2+z^2}$

Tới đây sử dụng bất đẳng thức Schur ta có :

$A\geq \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}{(x+y+z)^2}$

$ =(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=8+4\sqrt{3}$

Dấu = không xảy ra