Bằng qui nạp dễ CM được $(u_n)\in (0;1)$. Xét dãy $(v_n)$: $$\begin{cases} v_0=\min \{a, b\}\\ v_{n+1}=\dfrac{1}{2010}v^4_n+\dfrac{2009}{2010}\sqrt[4]{v_n}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}$$ Theo AM-GM: $$v_{n+1}=\dfrac{1}{2010}v^4_n+\dfrac{2009}{2010}\sqrt[4]{v_n}\ge\sqrt[2010]{v_n^4.\sqrt[4]{v_n}} > v_n$$ Dễ thấy $v_n\in (0;1)$ Từ đó suy ra $\lim v_n=1$.
Bằng qui nạp, dễ thấy: $v_n\le \min\{ u_{2n}, u_{2n+1}\}, u_{2n+3}\ge v_{n+1}\Rightarrow v_{n+1}\le\min\{u_{2n+2}, u_{2n+3}\}$. Do đó: $$v_n\le \min\{u_{2n}, u_{2n+1}\}\le \max\{u_{2n}, u_{2n+1}\}<1$$ Theo nguyên lý kẹp, ta được: $$1<u_n<1\Rightarrow \lim u_n =1$$
Vậy, $$\boxed{\lim u_n =1}$$
- manhhung2013, PlanBbyFESN, NTA1907 và 1 người khác yêu thích