hoangvipro1999

Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau. Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh trong các đoạn thẳng thu được có 1 đoạn thẳng là cạnh nhỏ nhất của 1 tam giác có 3 đỉnh trong 6 điểm đã cho và đồng thời là cạnh lớn nhất của 1 tam giác cũng có 3 đỉnh trong 6 điểm ấy.

Ta tô màu các đoạn nhỏ nhất trong các tam giác tạo thành bằng màu đỏ. Sau đó tô các canh còn lại bằng màu xanh (như vậy các đoạn tô bằng màu xanh không là đoạn nhỏ nhất của tam giác nào cả).

Ta cần cm trong 6 điểm trên có 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu

Thật vậy

Gọi 6 điểm là A,B,C,D,E,F

Các đoạn AB,AC,AD,AE,AF được tô bằng hai màu nên tồn tại 3 đoạn cùng màu

Giả sử 3 đoạn là:AB,AC,AD tô cùng màu cam

Xét tam giác BCD có 3 cạnh màu hồng thì tam giác BCD là tam giác cần tìm

Xét tam giác BCD có 1 cạnh màu cam. Giả sử cạnh đó là BC thì tam giác ABC là tam giác cần tìm

Vậy luôn có tam giác có 3 cạnh cùng màu

Giả sử tam giác ABC có 3 cạnh cùng màu đỏ.Do cạnh lớn nhất của ABC màu đỏ nên nó cũng là cạnh nhỏ nhất của 1 tam giác khác.

Cho $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4}$ là các ước dương nhỏ nhất của $n=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}$.Tìm n

cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

cm $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 1$

Dùng quy nạp

Bài toán tất nhiên đúng với lớp học một người

Giả sử bài toán đúng với n người

Ta cần c/m bài toán đúng với n+1 người

Gọi số người có số bạn thân lẻ trong n người đầu là c (chẵn)

Thật vậy, ta gọi người thứ n+1 trong số đó là A

Gọi số người thân với A trong n người đầu là k=a+b(người)

Trong đó a là số người có số bạn thân lẻ trong n người đầu

                b là số người có số bạn thân chẵn trong n người đầu

ta xét 2 TH

TH1: k chẵn

Suy ra a,b cùng tính chẵn lẻ

Số người có số bạn thân lẻ trong n+1 người lúc sau là: d=c-a+b (chẵn)

TH2: k lẻ

Suy ra a,b khác tính chẵn lẻ

Số người có số bạn thân lẻ trong n+1 người lúc sau là: d=c-a+b+1 (tính cả A nữa)

Vậy theo gt quy nạp ta có đpcm

Chú ý: Tiêu đề không thể dài quá nên khi copy từ bài viết sang tiêu đề phải chú ý xem tiêu đề có chứa nổi không, nếu không chứa nổi sẽ không hiển thị $\LaTeX$

Viet Hoang 99

$\left\{\begin{matrix} y(y^{2}+2x^{3}y+1)=10x^{3}\\y^{2}(1+4x^{6}y^{2})=20x^{6} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}-8x^{3}y^{3}=10\\ 4x^{3}y+\frac{3}{y}+1=y+3x^{3} \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y(4x^{3}-1)=3\\ y^{3}(3x+1)=4 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x^{10}+x^{2}y^{2}(x+y^{2})=3\\ y^{10}+\frac{y^{6}}{x^{4}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{3}{x^{5}} \end{matrix}\right.$

sao bk được vậy

Bạn thay vào phương trình (2) đi

Đánh dấu người đàn ông là số 1, người phụ nữ là số 2, trẻ em là số 3

theo đề bài ta có số 3 bị kẹp giữa hai số 2

Vậy tạo ra hai bộ (232)

Như thế ta cần sắp ba số 1 và hai bộ (232) sao cho không có hai số 1 liền nhau

Vậy chỉ có 1 cách sắp xếp duy nhất là: 1(232)1(232)1

 

Câu 6: $a)$ Vì chữ số tận cùng của $M$ là $0$ nên $M\ \vdots\ 5$

Xét các trường hợp:

$1)$ Cả hai số $a,\ b$ đều lẻ.

Suy ra $a^2,\ b^2,\ ab$ đều lẻ hay $M$ lẻ $($Vô lý, vì $M$ tận cùng là $0)$

$2)$ Một trong hai số $a,\ b$ có một số lẻ một số chẵn. Không mất tính tổng quát, giả sử số lẻ là $a,$ số chẵn là $b$

Suy ra $a^2$ lẻ, $b^2$ và $ab$ chẵn hay $M$ lẻ $($Vô lý, vì $M$ tận cùng là $0)$

Do đó cả $a,\ b$ đều chẵn.

Khi đó $a^2\ \vdots\ 4\ ;\ b^2\ \vdots\ 4\ ;\ ab\ \vdots\ 4$ hay $M\ \vdots\ 4$

Vậy $M\ \vdots\ 4.5=20$ $($Vì $(4\ ;\ 5)=1)$

 

Bài 6 có thể giải đơn giản như sau:

Ta có $M\vdots 2$

$\Rightarrow (a-b)M\vdots 2$

$\Rightarrow (a^{3}-b^{3})\vdots 2$

$\Rightarrow a^{3}\equiv b^{3}(mod2)$

$\Rightarrow a\equiv b(mod2)$

Đặt $a\equiv b\equiv k(mod2)$

thay vào $\Rightarrow M\equiv 3k^{2}(mod2)$

mà $M\equiv 0(mod2)$

$\Rightarrow k\equiv 0(mod2)$

$\Rightarrow a\vdots 2$ và $b\vdots 2$

$\Rightarrow M\vdots 4$

cmtt $M\vdots 25$

Vậy$M\vdots 100$

M có chữ số hàng chục là 0

Bài 1:Trên đường tròn, tô màu 16 điểm cho trước bởi 1 trong 3 màu: xanh, đỏ, vàng( mỗi điểm tô 1 màu).Mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 16 điểm trên được tô màu cam hoặc hồng ( mỗi đoạn thẳng tô 1màu).CMR: với mọi cách tô màu,ta luôn chọn được 1 tam giác có 3 đỉnh và 3 cạnh được tô bởi cùng 1 màu.

Đề đúng là như vậy.

Ta có 16 điểm được tô bằng 3 màu nên tồn tại 6 điểm được tô cùng 1 màu

Ta cần cm trong 6 điểm trên có 1 tam giác có 3 cạnh cùng màu

Thật vậy

Gọi 6 điểm là A,B,C,D,E,F

Các đoạn AB,AC,AD,AE,AF được tô bằng hai màu nên tồn tại 3 đoạn cùng màu

Giả sử 3 đoạn là:AB,AC,AD tô cùng màu cam

Xét tam giác BCD có 3 cạnh màu hồng thì tam giác BCD là tam giác cần tìm

Xét tam giác BCD có 1 cạnh màu cam. Giả sử cạnh đó là BC thì tam giác ABC là tam giác cần tìm

Giả sử tồn tại số nguyên dương n thoả mãn đề bài

Ta có n chia cho $a_{1}$ số dư$\leq$ $a_{1}-1$

n chia cho $a_{2}$ số dư$\leq$ $a_{2}-1$

...

n chia cho $4a_{11}$ số dư$\leq$ $4a_{11}-1$

Vậy n chia cho 22 số $a_{1},a_{2},...,a_{11},4a_{1},..,4a_{11}$ có tổng số dư $\leq$$a_{1}-1+a_{2}-1+...+a_{11}-1+4a_{1}-1+..+4a_{11}-1=5\times 407-22=2013$

Vậy tổng số dư bằng 2012 khi tồn tại $a_{i}$($1\leq i\leq 11$) sao cho:

Hoặc

n chia cho $a_{i}$ dư $a_{i}-1$ và chia cho $4a_{i}$ dư $4a_{i}-2$

khi đó $(n+1)\vdots a_{i},(n+2)\vdots 4a_{i}\vdots a_{i}$

$\Rightarrow 1\vdots a_{i}\Rightarrow a_{i}=1$(loại do$a_{i}\geq 2$)

Hoặc

n chia cho $a_{i}$ dư $a_{i}-2$ và chia cho $4a_{i}$ dư $4a_{i}-1$

cmtt $\Rightarrow 1\vdots a_{i}\Rightarrow a_{i}=1$(loại do$a_{i}\geq 2$)

Vậy không tồn tại số nguyên dươn n

Gọi số cần tìm là $X=\overline{xy...tba_{n}a_{n-1}...a_{1}}$,b là chữ số cần gạch

Đặt $A=\overline{xy...t};Y=\overline{xy...ta_{n}a_{n-1}...a_{1}}$

Ta có:X=71Y

$\Leftrightarrow A\times 10^{n+1}+b\times 10^{n}+\overline{a_{n}...a_{1}}=71\times (A\times 10^{n}+\overline{a_{n}...a_{1}})$

$\Leftrightarrow b\times 10^{n}=61A\times 10^{n}+70\overline{a_{n}...a_{1}}$

$\Rightarrow b\times 10^{n}> 61A\times 10^{n}$

mà$0< b\leq 9$

$\Rightarrow A=0$

$\Rightarrow b\times 10^{n}=70\overline{a_{n}...a_{1}}$

Chữ số bị gạch là chữ số đầu tiên từ trái qua

mà $(10^{n},7)=1$

$\Rightarrow b\vdots 7$

$\Rightarrow b=7$

Vậy bài toán đã được giải quyết, số cần tìm là X=71000000... (với n-1 số 0, n$\epsilon \mathbb{N*}$)chữ số bị gạch đi là 7