123123

Tiếp tục cho $x_1=x_2=...=x_n=x$ vào điều kiện 2 suy ra :

$$nf(x)\geq f(nx)\,\,\,\forall x\in [0;2013]\,\,\,n\in \mathbb{N}^{*}$$

$$\Rightarrow \frac{f(x)}{x}\geq \frac{f(xn)}{xn}$$

Cho $n=\left[\frac{2013}{x}\right]$ ta có $\frac{f(x)}{x}\geq \dfrac{f(2013)}{x.\left[\frac{2013}{x}\right]}$ ( Do $f$ không giảm và $x.\left[\frac{2013}{x}\right]\leq 2013$).

Cách làm của Đạt rất hay. Mình chỉ xin góp ý là Với mỗi $x\in (0;2013]$ xét $n= \left [ \frac{2013}{x} \right ]$ rồi mới cho $x_{1}= x_{2}= ...= x_{n}=x$ thay vào điều kiện (2) để đảm bảo $\sum_{i=1}^{n}x_{i}\leq 2013$

Bài hình V1: Thực ra d luôn đi qua điểm K đối xứng với trung điểm M của BC qua phân giác góc A. Bài này chính là mở rộng của bài toán chứng minh KD vuông góc với OI  (O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, D là tiếp điểm của (I) với BC)

Mình làm thử nhé ^^

$x=0:f(y+f(y))=2y$ Suy ra $f$ là song ánh

 

Từ điều kiện ấy mới chỉ suy ra f là toàn ánh thôi bạn ạ> 

Nếu bạn chứng minh được f là đơn ánh thì bạn có thẻ chứng minh cụ thể ra được không? Mình đang bí chỗ này.

Hoặc là có  thể chứng minh 2x+f(x) nhận giá trị trên toàn $\mathbb{R}$ cũng được.

Bài hình:

Câu a dễ thấy ngay theo cực và đối cực.

Câu b ta cũng có thể chứng minh  như sau:

Gọi R, S là trung điểm của AP, AQ thì RS là trục đẳng phương của (O) và đường tròn điểm (A,0).

Lại có $CA^{2}=CD.CB$ (tam giác đồng dạng) nên C thuộc RS

Cũng có I thuộc RS nên CI vuông góc với AO.

Ta tô màu các ô của hình chữ nhật 9 x 11 bằng hai màu đen và trắng sao cho trong một hình chữ nhật 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bất kỳ đều chứa đúng hai ô được tô màu đen. Chứng minh rằng đó đúng 33 ô được tô đen.

 

Theo bạn WhjteShadow:

Sáng ngồi từ 6h30 đến 7h nghĩ ra bài 1 rồi mà phải đi học không kịp gõ H mới được về trình bày.
Bài 1.

+) Cm Nếu đề bài đúng với bộ $(k;n)$ thì cũng đúng với $(k+1;2n+1)$ :


\[ 1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right). \]
$$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}-\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$

$$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)+\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}$$
Mà :
$$\frac{n+2^{k}-1}{n(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}.\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$
Suy ra :
$$1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)+\frac{1}{2n+1}.\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right)$$
$$=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\dots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)$$
Chọn $m_{k+1}=2n+1$ ta cũng có ngay đpcm.
Vậy lời giải được hoàn tất (the0 nguyên lý quy nạp).

Cho mình hỏi phần tô đỏ: Hình như phải là:$\Leftrightarrow 1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}-\frac{2^{k}-1-n}{n\left ( 2n+1 \right )}=...$ mới đúng.
Nếu như vậy thì $m_{k+1}=2n+1$ không đúng.
Mình thấy:$(1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}):(1+\frac{2^{k}-1}{n})= \frac{2^{k+1}n+2n^{2}}{2^{k+1}n+2n^{2}+2^{k}-n-1}$ chưa chắc lớn hơn 1 nên khó có thể viết được $1+\frac{2^{k+1}-1}{2n+1}=(1+\frac{2^{k}-1}{n})(1+\frac{1}{m_{k}})$ như thế.
Mong bạn xem lại hộ mình. Nếu mình sai sót, mong các bạn thông cảm.