quangnghia

Cho a,b,c la các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3CMR  $\frac{a+1}{b^{2}+1} + \frac{b+1}{c^2+1{}} + \frac{c+1}{a^2+1{}} \geq 3$

Ta có $\frac{a+1}{b^{2}+1}=a+1-\frac{b^{2}(a+1)}{b^{2}+1}\geq a+1-\frac{b(a+1)}{2}\geq a-\frac{b}{2}+1-\frac{ab}{2}$

Thực hiện tương tự ta thu được:

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \frac{a+b+c}{2}+3-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\geq \frac{3}{2}+3-\frac{1}{2}.3\geq 3$

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình 3 cạnh là 3x+4y-6=0, 4x+3y-1=0, y=0

Do bạn không nói rõ nên mình giả sữ phương trình AB, BC, CA lần lượt theo thứ tự $3x+4y-6=0, 4x+3y-1=0, y=0$

Ta giải ra $A(2,0), B(-2,3), C(\frac{1}{4},0)$

Độ dài $AB=5, BC=\frac{15}{4},AC=\frac{7}{4}$

Gọi AI là phân giác góc A (I thuộc BC)

$\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{7}, BI+IC=BC =\frac{15}{4}$

$\Rightarrow BI=\frac{25}{9}$

$\Rightarrow \frac{BI}{BC}=\frac{20}{27}\Rightarrow \overrightarrow{BI}=\frac{20}{27}\overrightarrow{BC}$

$I(i,\frac{1-4i}{3})$

$\overrightarrow{BI}=(i+2,\frac{-8-4i}{3})$

Từ đây giải ra i, ta có tọa độ I. Ta viết phương trình AI. Rồi từ AI tìm 1 điểm K sao cho khoảng cách từ K tới AB bằng khoảng cách từ K đến BC. Giải ra tọa độ K. Bài toán kết thúc khi có tọa độ K và bán kính (khoảng cách từ K đến BC)

Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên (O) lấy điểm C sao cho AC > BC. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm I là một điểm cố định. Qua I dựng đường thẳng d vuông góc với AB; đường thẳng d cắt BC tại E, cắt AC tại F. Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì M luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định

Gọi T là giao điểm của $(AEF)$.

Do $ATFE$ nội tiếp nên $ IT.IA=IF.IE$  (1)

Ta có $\Delta AFI\sim\Delta EBI\Rightarrow \frac{IF}{IB} =\frac{AI}{EI}\Rightarrow IF.IB=IA.IB$  (2)

Từ (1)(2) $\Rightarrow IT.AI=IA.IB\Rightarrow IT=\frac{IA.IB}{IA}$

Suy ra T cố định, mà M thuộc trung trực AT nên M di chuyển trên đường thẳng cố định

cho tam giác ABC có phân giác BD cắt trung tuyến AM tại I, CI cắt AB tại N. Chứng minh $\frac{AB}{AN}$+1=$\frac{2AM}{AI}$

Ta có $\frac{AB}{AN}+1=2\frac{AM}{AI}$

$\Leftrightarrow\frac{AN+NB}{AN}+1=2.\frac{AI+IM}{AI}$

$\Leftrightarrow 1+\frac{NB}{AN}+1=2+2\frac{IM}{AI}$

$\Leftrightarrow \frac{BC}{AC}=2\frac{MC}{AC}$

$\Leftrightarrow BC=2MC$ ( luôn đúng)

Cho A nằm ngoài (O;R). Kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC . Điểm M thuộc cung bc nhỏ (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại E,F. BC cắt OE, OF tại P, Q.

CMR $\frac{PQ}{EF}$ ko đổi khi M thay đổi trên cung BC nhỏ

Ta có $\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=\frac{1}{2}\widehat{BOM}+\frac{1}{2}\widehat{MOC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{BOA}=\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{EOF}$

$\Rightarrow EBOQ$ nội tiếp mà $\widehat{EBO}=90^{o}\Rightarrow \widehat{EQO}=90^{o}$

$\Rightarrow$ EQ vuông OF.

Tương tự PF vuông EO

$\Rightarrow \Delta OPQ\sim \Delta OFE$

$\Rightarrow \frac{PQ}{EF}=\frac{OP}{OF}=cos\widehat{POF}=cos\frac{\widehat{BOC}}{2}$ là hằng số

điều phải chứng minh