littlemiumiu21

(Câu cuối đề thi thử vào 10 trường THCS Dương Xá) 
$180/$
Cho $x+xy+y=8
Tìm GTNN P=x^{3}+y^{3} +x^{2} +y^{2}+5x+5y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Quyển này khá hay, các chuyên đề cũng được biên soạn đầy đủ, bài tập cũng khá nhiều;  nhưng cái giá tiền hơi bị mắc tí: 80.000đ.
Mình khuyên bạn nên dùng quyển sách này   mặc dù mình không dùng.

đang đọc muốn sặc luôn =)))))))))))

Ta có :$(1-a)^3(1-b)^5(1-c)^8=(3a+5b+8c-a)^3(3a+5b+8c-b)^5(3a+5b+8c-c)^8=(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8$

Theo Cosi thì $(2a+5b+8c)^3(3a+4b+8c)^5(3a+5b+7c)^8\geq (15\sqrt[15]{a^2b^5c^8})^3(15\sqrt[15]{a^3b^4c^8})^5(15\sqrt[15]{a^3b^5c^7})^8=(15^{16})(a^3b^5c^8)$

Dấu = khi $a=b=c=\frac{1}{16}$

$150$ C2: Bdt can CM
$<=> (\frac{1-a}{a})^{3}(\frac{1-b}{b})^{5}(\frac{1-c}{c})^{8} \geq 15^{16}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{1-a} & & \\ y=\frac{b}{1-b}& & \\ z=\frac{c}{1-c}& & \end{matrix}\right. => a=\frac{x}{1+x};b=\frac{y}{1+y};c=\frac{z}{1+z}$ và $x,y,z>0$ tm $\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=1$

CM:$x^{3}y^{5}z^{8}\leqslant \frac{1}{15^{16}}$
Mà $1=\frac{3x}{1+x}+\frac{5y}{1+y}+\frac{8z}{1+z}=\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{y}{1+y}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}+\frac{z}{1+z}$

và $\frac{1}{1+x}=1-\frac{x}{1+x}\geq 15\frac{\sqrt[15]{x^{2}y^{5}z^{8}}}{\sqrt[15]{(1+x)^{2}(1+y)^{5}(1+z)^{8}}}$

CMTT Nhân theo từng vế =>dpcm
 

Chú ý: Gõ công thức toán kẹp $ vào đầu và cuối, không kẹp vào phần tiếng Việt, 
Thêm nữa là gõ tiếng Việt có dấu. (Mà bạn gõ cứ như kiểu nhớ công thức toán ấy, toàn bị thiếu ngoặc " } " ở cuối)

$144$:$\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy+3y^2=13\\ x^2+4xy-2y^2=-6 \end{matrix}\right.$

 

 

Có cách 2:
Thấy hệ đã cho là hệ đồng bậc 
Đặt  $x=ky$; $Pt 1=> 2k^{2} y^{2}-ky^{2}+3y^{2} =13 =>y^{2}=\frac{13}{2k^{2}-k+3}$

$Pt2 => k^{2}y^{2} +4ky^{2}-2y^{2} =-6=> y^{2}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2} =>\frac{13}{2k^{2}-k+3}=\frac{-6}{k^{2}+4k-2}$

Nhân chéo rồi giải pt => nghiệm 

Nếu không gõ được LATEX thì tốt nhất không tham gia TOPIC

$A= \frac{1}{a^{2}} + (a+\frac{1}{b})^{2} +(b+\frac{1}{a})^{2} +\frac{1}{b^{2}} =a^{2}+b^{2}+ 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) +2 (\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}) \geqslant (a+b)^{2}:2 + 2.2\sqrt{\frac{a}{b}}.\frac{b}{a} + 2 . (quy dong)$ 

Khó viết quáaaaaa

Tính được a bình + b bình lớn hơn hoặc bằng [(a+b) ^2 ]:2 và (a.b)^2  nhỏ hơn hoặc bằng [(a^2 +b^2) :2] ^2

=> thay a+b =1 .... 

A min =25/2 khi a=b=1/2  

Đặt biểu thức trên là A nhé!

Ta có $A=a^{2}+b^{2}+\frac{2}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}+2\frac{a}{b}+2\frac{b}{a}=\left ( a^{2}+\frac{1}{16a^{2}} \right )+\left ( b^{2} +\frac{1}{16b^{2}}\right )+\frac{31}{16}\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \right )+2\left ( \frac{a}{b} +\frac{b}{a}\right )$

Theo AM-GM ta có $a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}.\frac{1}{16a^{2}}}=\frac{1}{2};\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{2}{ab}\geq \frac{2}{\frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}}=8;\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Từ đó tìm được GTNN rồi...

không tách ra 1/16 được k nhỉ ? 
Cách khác vẫn ra đc dấu bằng thì có đúng k ?