Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Le Quang Long

Đăng ký: 23-04-2014
Offline Đăng nhập: 28-05-2015 - 13:31
*****

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

28-05-2014 - 21:31

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)

Ta xét:

$xy(4-2xy)\leq 2$

$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$

$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$

Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$

$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$


Trong chủ đề: Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

28-05-2014 - 17:51

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$


Trong chủ đề: Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

27-05-2014 - 20:42

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$