Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$
Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)
Ta có:
$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$
$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)
Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)
Ta xét:
$xy(4-2xy)\leq 2$
$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$
$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$
Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$
$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$