Le Quang Long

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)

Ta xét:

$xy(4-2xy)\leq 2$

$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$

$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$

Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$

$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui ))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$