Cho 6 số tự nhiên khác nhau, khác 0 và nhỏ hơn 108. CMR: có thể chọn được 3 trong 6 số đó chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ac, c< ab.
- TB2000 yêu thích
Logic sẽ đưa anh từ điểm A tới điểm B. Trí tưởng tượng sẽ đưa anh tới mọi nơi.
Albert Einstein
Gửi bởi Le Quang Long trong 16-07-2014 - 11:06
Cho 6 số tự nhiên khác nhau, khác 0 và nhỏ hơn 108. CMR: có thể chọn được 3 trong 6 số đó chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ac, c< ab.
Gửi bởi Le Quang Long trong 05-06-2014 - 11:54
Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 21:31
Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$
Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)
Ta có:
$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$
$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)
Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)
Ta xét:
$xy(4-2xy)\leq 2$
$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$
$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$
Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$
$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$
Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 17:51
chỗ bên trên có phần ko đúng :/
vì từ BĐT Cauchy ta có:
$x^{2}+y^{2} \geq 2xy$
$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$
vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$
À, bài đó sửa như thế này:
Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$
Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)
Ta có:
$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$
$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)
Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$
Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$
Gửi bởi Le Quang Long trong 27-05-2014 - 20:42
e đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui ))
Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$
Theo BĐT Cauchy ta có:
$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$
$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)
$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)
Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$
Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$
Gửi bởi Le Quang Long trong 30-04-2014 - 06:23
Gửi bởi Le Quang Long trong 29-04-2014 - 21:55
Tìm 3 số tự nhiên a,b,c sao cho $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{a+b+c}$ = 1
Gửi bởi Le Quang Long trong 27-04-2014 - 14:13
Cho $\Delta$ ABC đều, lấy M sao cho $\widehat{BMC}$ = $120^{\circ}$ và BM=2CM. Tính AM, biết AB = 35cm.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học