Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Le Quang Long

Đăng ký: 23-04-2014
Offline Đăng nhập: 28-05-2015 - 13:31
*****

#513126 Số học.

Gửi bởi Le Quang Long trong 16-07-2014 - 11:06

Cho 6 số tự nhiên khác nhau, khác 0 và nhỏ hơn 108. CMR: có thể chọn được 3 trong 6 số đó chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ac, c< ab.




#504169 $M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2$

Gửi bởi Le Quang Long trong 05-06-2014 - 11:54

$M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2$

Viết M thành bình phương của 1 đa thức.




#502297 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 21:31

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)

Ta xét:

$xy(4-2xy)\leq 2$

$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$

$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$

Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$

$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$




#502240 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 17:51

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$




#502020 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 27-05-2014 - 20:42

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$




#496020 Tìm chữ số tận cùng

Gửi bởi Le Quang Long trong 30-04-2014 - 06:23

Tìm chữ số tận cùng của số $9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}$




#495987 Tìm a,b,c sao cho $\frac{1}{a}$ + $...

Gửi bởi Le Quang Long trong 29-04-2014 - 21:55

Tìm 3 số tự nhiên a,b,c sao cho $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{a+b+c}$ = 1




#495439 Cho $\Delta$ ABC đều, lấy M sao cho $\widehat{B...

Gửi bởi Le Quang Long trong 27-04-2014 - 14:13

Cho $\Delta$ ABC đều, lấy M sao cho $\widehat{BMC}$ = $120^{\circ}$ và BM=2CM. Tính AM, biết AB = 35cm.