Đến nội dung

Le Quang Long

Le Quang Long

Đăng ký: 23-04-2014
Offline Đăng nhập: 28-05-2015 - 13:31
*****

#513126 Số học.

Gửi bởi Le Quang Long trong 16-07-2014 - 11:06

Cho 6 số tự nhiên khác nhau, khác 0 và nhỏ hơn 108. CMR: có thể chọn được 3 trong 6 số đó chẳng hạn a,b,c sao cho a<bc, b<ac, c< ab.




#504169 $M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2$

Gửi bởi Le Quang Long trong 05-06-2014 - 11:54

$M=4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2$

Viết M thành bình phương của 1 đa thức.




#502297 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 21:31

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Và $1-xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2-2xy\geq 0\Leftrightarrow 4-2xy\geq 2$ (3)

Ta xét:

$xy(4-2xy)\leq 2$

$\Leftrightarrow xy(2-xy)\leq 1$

$\Leftrightarrow 2xy-(xy)^2-1\leq 0$ $\Leftrightarrow -(xy-1)^2\leq 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow xy(4-2xy)\leq 2$

Từ (1)và (2), ta có: $xy\times xy(4-2xy)\leq 1\times 2$

$\Leftrightarrow x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2$




#502240 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 28-05-2014 - 17:51

chỗ bên trên có phần ko đúng :/

vì từ BĐT Cauchy ta có:

 

$x^{2}+y^{2} \geq  2xy$

$\Leftrightarrow x^{2}y^{2}(x^{2}y^{2})\geq x^{2}y^{2}(2xy)$

vậy phải là $\geq$ chứ ko phải $\leq$

À, bài đó sửa như thế này:

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (1)

Ta có:

$(x+y)^2=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+2xy=4$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2=4-2xy$

$\Rightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}) = x^{2}y^{2}(4-2xy)$ (2)

Từ (1), ta lại có: $x^{2}y^{2}(4-2xy)\leq 1\times2$

Vậy $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$




#502020 Một kĩ thuật chứng minh B.Đ.T

Gửi bởi Le Quang Long trong 27-05-2014 - 20:42

e  đóng góp 1 bài này đơn giản để mọi người làm cho vui :))))

Đề:Cho x,y là các số dương thỏa mãn x+y=2.Chứng minh: $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$

Theo BĐT Cauchy ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy)$

$\Leftrightarrow$ $2x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq x^{2}y^{2}(2xy+x^{2}+y^{2})$ (Nhân 2 vế với $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})$ dương)

$\Leftrightarrow$ $x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2(xy)^{2}$ (1)

Vì $x+y\geq 2\sqrt{xy}$ nên $2\geq 2\sqrt{xy}$

$\Leftrightarrow$ $1\geq \sqrt{xy}$

Vì $1\geq \sqrt{xy}$ nên $1\geq xy$ (xy > 0) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})\leq 2$




#496020 Tìm chữ số tận cùng

Gửi bởi Le Quang Long trong 30-04-2014 - 06:23

Tìm chữ số tận cùng của số $9^{8^{7^{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}}$




#495987 Tìm a,b,c sao cho $\frac{1}{a}$ + $...

Gửi bởi Le Quang Long trong 29-04-2014 - 21:55

Tìm 3 số tự nhiên a,b,c sao cho $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{a+b+c}$ = 1




#495439 Cho $\Delta$ ABC đều, lấy M sao cho $\widehat{B...

Gửi bởi Le Quang Long trong 27-04-2014 - 14:13

Cho $\Delta$ ABC đều, lấy M sao cho $\widehat{BMC}$ = $120^{\circ}$ và BM=2CM. Tính AM, biết AB = 35cm.