Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


dance

Đăng ký: 25-04-2014
Offline Đăng nhập: 06-07-2016 - 20:13
-----

#531028 $3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1)$

Gửi bởi dance trong 29-10-2014 - 10:07

Đây là câu nằm trong đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Quảng Trị 2014-2015

 

$3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Dấu bằng xảy ra khi nào?

 

Mình làm theo kiểu đưa về phương trình bậc 2 ẩn x rồi tìm $\Delta $ nhưng dấu bằng không xảy ra

=)))

 

Ta thấy
$$ 3 \left( x^2-x+1 \right) \left( y^2-y+1 \right) -2 \left( x^2y^2 -xy+1 \right) = \\
\left( y^2-3y+3 \right) \left[ \left( x+\frac{5y-3y^2-3}{2y^2-6y+6} \right)^2 +\frac{3 \left( y^2-3y+1 \right)^2}{ 4 \left( y^2-3y+3 \right)^2} \right] \ge 0  $$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$$ \left( x,y \right) = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) \ ; \ \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)  $$

 

Nguồn: vuive_yeudoi




#529587 x3-y3-4xy+1=0

Gửi bởi dance trong 19-10-2014 - 20:19

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên
x3-y3-4xy+1=0

Bài 2: Giải phương trình

$\sqrt{5x^{2}+14x+9} - \sqrt{x^{2}-x-20} = 5\sqrt{x+1}$

1/

 

Ép về còn x-y với xy . Đặt ẩn phụ x-y = a ; xy =b

 

Rồi  giải = pp ước sô là xong




#529584 $x(2x+3)=2+\sqrt{1-x}$

Gửi bởi dance trong 19-10-2014 - 20:15

Giải pt:

$$x(2x+3)=2+\sqrt{1-x}$$

 

 

:3

 

Đặt $\sqrt{1-x} = t$

 

PT viết lại :

 

$2t^2 - t +2x^2+5x-4=0$

 

Viết đen-ta theo ẩn t ......xong




#525857 $\sum \frac{1}{h_ah_b} \geq \sum...

Gửi bởi dance trong 23-09-2014 - 18:06

 

1)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a, $AB^2+BC^2+CD^2 \geq DA^2$
b, $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 \geq AC^2+BD^2$
 
2)
Cho tam giác $ABC$ có $l_a,l_b,l_c$ là độ dài các đường phân giác trong, $h_a,h_b,h_c$ là độ dài 3 đường cao
CMR:
$$\frac{1}{h_ah_b}+\frac{1}{h_bh_c}+\frac{1}{h_ch_a} \geq \frac{1}{l_a^2}+\frac{1}{l_b^2}+\frac{1}{l_c^2}$$

 

Nhác và ngại latex nên hướng dẫn thôi :D

 

2/

 

$\sum \dfrac{1}{h_ah_b} = \dfrac{ab+bc+ca}{4S^2}$ 

 

$l_a = .....=\dfrac{2S}{(b+c). sin{ \dfrac{A}{2} }}$

 

bp lên đc $\dfrac{1}{l_a^2} = \dfrac{(b+c)^2-(b+c)^2. cosA}{8S^2}$

 

Tg tự.... , và xài thêm cái cos A  = $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ và $(b+c)^2$  > = 4bc

 

Nên , nhân các bđt , vê theo vế .....

 

Cuối cùng biến đổi tùm lum đc

 

$\dfrac{1}{l_a^2}$ < = $\dfrac{2b^2+2ca-a^2-c^2}{8S^2}$

 

Tg tự với $l_b,l_c$..........

 

Cộng cả đống trên lại đc

 

$\sum \dfrac{1}{l_a^2}$  < =  \$dfrac{ab+bc+ca}{4S^2}$ = $\sum \dfrac{1}{h_a.h_b}$

 

  :D .




#525278 CM:$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_...

Gửi bởi dance trong 19-09-2014 - 22:45

Chứng minh bài toán tổng quát sau

Cho hình $n-$ giác đều $AA_{1}A_{2}...A_{n}$ tâm $O$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+...+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}$

Cách 2 :

 

Gọi $\vec{OA} = \sum{\vec{OA_i}}$ (cái tổng hoán vị chạy từ 1--> n)

 

Nhận xét rằng khi quay đa giác  1 góc = $\dfrac{2.pi}{n}$ thì:

 

+Đa giác ko đổi nên $\vec{OA} = \sum{\vec{OA_i}}$ (cái tổng hoán vị chạy từ 1--> n)

 

+Vector $\vec{OA}$ sẽ bị quay theo cùng chiều 1 góc $\dfrac{2.pi}{n}$

 

Suy ra $\vec{OA}$ có hướng tùy ý $\iff$ $\vec{OA}=\vec{0}$ , đpcm




#525184 Cmr: $\sum \frac{a}{a+b}<\sum...

Gửi bởi dance trong 19-09-2014 - 10:09

Cho $a;b;c>0$. Cmr: $$\sum \frac{a}{a+b}<\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$$

Bà Vân có làm ở đây rồi :D

 

http://diendan.hocma...06#post.2646006

 

P/s: eye_smile cũng ở Thái Thụy, Thái Bình đó, 2 bạn là đồng hương =))




#523711 Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2...

Gửi bởi dance trong 09-09-2014 - 23:01

Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=3$ . Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}$$

 

Cái mẫu thứ nhất, Cauchy đc:

 

$(a^2+1) + (b^2+1)$ $\ge$ $2(a+b)$

 

Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+2}$ be.gif  $\dfrac{1}{2(a+b)}$

 

Tương tự đc P  be.gif $\dfrac{1}{2(a+b)} + \dfrac{1}{2(b+c)} +\dfrac{1}{2(c+a)}$

 

Nên: 8P  be.gif $\dfrac{4}{a+b} + \dfrac{4}{b+c} +\dfrac{4}{c+a}$ be.gif $2.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

Mặt khác thì dễ thấy:

 

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$   be.gif  $ab+bc+ca$

 

(c/m = tương đương)

 

Do đó P max = $\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" tại a=b=c=1




#519324 bài 1: Giải các pt sau: a/ $2x-5\sqrt{x}+2=0$ b/...

Gửi bởi dance trong 13-08-2014 - 18:27

bài 1: Giải các pt sau:

a/ $2x-5\sqrt{x}+2=0$

 

b/ $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4$

 

c/ $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x(x+1)}$

 

d/ $x+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$

 

Bài 2 : Giải pt:

 

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}=1$

 

Bài 3: Cho biểu thức $P=(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}) :(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1})$

 

a/ Tìm x để $P$ có nghĩa

b/ Tìm $x\epsilon \mathbb{Z}$ để $Q=P-\sqrt{x}$ nhận giá trị nguyên

 

Bài 4: Cho biểu thức: $P= (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}).(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2})^2$

 

a/ Rút gọn $P$

b/ Tìm các giá trị của $x$ để $\frac{P}{\sqrt{x}}>2$

Cái này đơn giản nên mình hướng dẫn thôi nhé ;)

 

1/

 

a. Đặt $\sqrt{x} = t$ ( t lớn hơn = 0) thì PT trở thành: $2x^2-5x+2=0$

 

Cái này viết đen-ta...........

 

b. $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4$

 

Chú ý là $x+2+2\sqrt{x+1} = x+1+2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1}+1)^2$

 

<=> ......................

 

c. $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x(x+1)}$

 

Có dạng: a+b=1+ab <=> (a-1)(1-b) = 0

 

d. $x+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$

 

Nhận thấy $-x^2+8x-7=(7-x)(x-1)$

 

PT đã cho viết lại :  $x-1+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}$ (*)

 

Đặt $\sqrt{x-1} =a$ ; $\sqrt{7-x} = b$

 

Pt (*) tương đương: $a^2+2b=2a+ab$

 

<=> (a-b)(a-2) = 0

 

<=> ..............

 

2/

 

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}=1$

 

chú ý: $\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+2}}$

 

Tương tự, lược bỏ .....

 

3/  ko đọc đc đề

 

4, Dạng rút gọn cơ bản, bạn có thể tự làm. OK ? :))




#518792 Giải phương trình $x^3+3x^2+2x-1=0$

Gửi bởi dance trong 10-08-2014 - 14:03

Đặt $a=\sqrt{x^2-2x+3}$
$$PT \Leftrightarrow (x+1)a=a^2+2x-2$$

$$\Leftrightarrow a^2-a(x+1)+2x-2=0$$

$$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)-(x+1)(a-2)=0$$
$$\Leftrightarrow (a-2)(a-x+1)=0$$

Sai ngay bước thứ 2 rồi

 

$a^2+2x-2 = x^2-2x+3+2x-2= x^2+1$




#518381 Đề thi vào lớp 10 chuyên Tiền Giang (chuyên Tin)

Gửi bởi dance trong 08-08-2014 - 11:06

Ta sẽ chứng minh $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$
Theo AM-GM ta có $$6\sqrt{ab}\le 3.(\frac{a}{2}+2b)$$
$$6\sqrt[3]{abc} \le 2(\frac{a}{4}+b+4c)$$
$$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$$

Thiếu dấu "=" tại x = 16:21 ; y =4:21 ; z= 1:21

Cách khác: http://diendan.hocma...065&postcount=3




#517079 tính giá trị các biểu thức: a/ $A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o +...

Gửi bởi dance trong 02-08-2014 - 10:11

tính giá trị các biểu thức:

a/ $A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o + sin^2 75^o + sin^2 50^o + sin^2 30^o$

 

b/ $B= tan5^o tan10^o....tan85^o$

 

c/ $C= cos^2 15^o -cos^2 25^o + cos^2 35^o -cos^2 45^o -cos^2 65^o +cos^2 75^o$

$A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o + sin^2 75^o + sin^2 50^o + sin^2 30^o$

 

= $<sin^2 15^o +sin^2 75^o>+< sin^2 60^o + sin^2 30^o> + <sin^2 50^o + sin^2 40^o>$

 

= $<sin^2 15^o +cOS^2 15^o>+< sin^2 60^o + cOS^2 60^o> + <sin^2 50^o + cOS^2 50^o>$

 

= 3




#514638 Chuyên đề số học của diễn đàn VMF

Gửi bởi dance trong 22-07-2014 - 19:01

Đây mới là phiên bản 1 chưa hoàn thiện lắm đâu ;)
P/s: Mèn đét ơi, lên 62 rùi !!! :blink:

Khi nào mới có bản hoàn thiện vậy bạn ?

 

Hay là nếu các Ban biên tập viên up bản hoàn thiện hơn thì mình xin có ý kiến là để 1 File PDF riêng và bổ sung thôi :)) chứ đừng làm lại nguyên quyển sách in đúc mà chỉ sửa lại từng phần nhỏ thì tốn công dowload lên dowload xuống :\

 

Cảm ơn VMF, rất hay và ý nghĩa ;)




#513121 Tìm P để |$ \vec{PA}$ + $ \vec{PB...

Gửi bởi dance trong 16-07-2014 - 10:55

Cho tam giác ABC và đường thẳng d

 

a) Tìm P để |$ \vec{PA}$ + $ \vec{PB}$ + $ \vec{PC}$ | min

 

b) Tìm N thuộc AC để | $ \vec{NB}$ + $ \vec{NC}$ | min 

 

c) Tìm M thuộc d để |$ \vec{MA}$ + $ \vec{MB}$ - $3. \vec{MC}$ | min




#512914 CM:$BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{I...

Gửi bởi dance trong 15-07-2014 - 11:10

Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

CM:$BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

 

 

Bài này nghĩ đc 4 cách nhưng mà post cách ngắn nhất thôi   :)) ,

 

 

 

 

Qua C, vẽ 2 đường thẳng // với 2 đường phân giác AI,BI tạo thành hình bình hành IECF

 

Xét tam giác BDI và tam giác CDF đồng dạng

 

==> IB : CF = BD:DC = AB:AC ( t/c phân giác..)

 

==> $ \vec{CF}$ = $\frac{AC}{AB}$ . $\vec{IB}$

 

Tg tự cũng tính đc $ \vec{CE}$ = $\frac{BC}{AB}$ .$ \vec{IA}$

 

Theo quy tắc hình bình hành có

 

$\vec{CF} + \overrightarrow{CE}$ = $\overrightarrow{CI}$

 

Thay trên vào

 

==> Đpcm

 

 

p/s: Latex khùng rồi, mod VMF sửa giúp :( .. >.< 

 

forum_




#495063 $\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{...

Gửi bởi dance trong 25-04-2014 - 15:50

Giải pt:

 

$\sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x}  = 2{x^2} - 5x - 1$