tunglamlqddb

Cho 3 số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) = 8$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a}{b(b+2c+1)(a+3c)^2} + \frac{b}{c(c+2a+1)(b+3a)^2} + \frac{c}{a(a+2b+1)(c+3b)^2}$

 

cho các số thực không âm x, y, z: x+y+z=2

Chứng minh:

$\sqrt{x+y-2xy}+\sqrt{y+z-2yz}+\sqrt{z+x-2zx}\geq 2$

Nhân tử và mẫu với a
Dùng cauchy swart, sau đó đặt p,q,r rồi quy đồng.
( maybe it is true!)

Câu 2a là đường tròn mixtilinear góc A bạn nhé.
Đây là 1 bài khá hay và khó

Còn câu 2b sử dụng brocard nhé!
Cụ thể: -) CM đc cá tứ giác AIJC, BIKD, CKLA, DLIB nội tiếp, từ đó dễ dàng suy ra IJKL nội tiếp.
-) Cm AC, IJ, LK đồng quy và BD, IL, JK đồng quy ( tâm đẳng phương).
-) Gọi giao điểm của IK và JL là E. Gọi F là trung điểm của OH, ta chứng minh F là tâm (IJKL). Thật vậy, nếu gọi L là trung điểm CH thì FL song song OC, mà OC vuông góc vs KJ ( đoạn đối song trong tam giác CBD) nên FL vuông góc JK, mà LJ=LK, nên FJ=FK, tương tự suy ra F là tâm.
-) gọi M, N là giao điểm của (AD,BC), (AB,CD).
P, Q là giao điểm của (IJ,LK), (IL,JK).
Thấy rằng PQ là trục đẳng phương của (O) và (F) nên OF vuông góc PQ
Mà: EF vuông góc PQ ( brocard)
Nên O,E,F thẳng hàng hay O,H,E thẳng hàng (q.e.d)

Đây là trường hợp AC ko là đ.kính

Cho tam giác ABC có AB<AC. đường cao AE và BF cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng a vuông góc với HM cắt AB và AC lần lượt tại I và K. Chứng minh HI=HK.
 
p/s: giúp mình với!!!!!!!!!!!!!!!

Định lý con bướm đó bạn!

Variation:
Hai đại gia bất động sản $A$ và $B$ thi đấu tennis. Tính xác suất để cuộc thi đấu kết thúc lần lượt trong 3, 4, 5 ván. Biết rằng xác suất để đại gia $A$ thắng mỗi ván là $\frac{2}{3}$ và cuộc thi kết thúc khi có 1 đại gia thắng $3$ ván.

Tức là bài toán có 3 phần đó hả?
Nếu kết thúc trong 3 ván thì hoặc A thắng hoặc B thắng nên xác suất là (2/3)³+(1/3)^3
Nếu kt trong 4 ván
A thắng thì ván cuối cùng phải là A kết thúc trận đấu, hai trận còn lại là 3C2 nên xác suất là 3C2.(2/3)²
B thắng thì lập luận t.tự
Nếu kt trong 5 ván thì cũng làm như với 4 ván.
(Mình ko biết gõ tổ hợp như nào, sr nhá!)

Vẫn Sai góc BOM bù với góc BOC ==> sai bét        
Anh làm linh tinh quá     
Cái j mà góc định hướng chứ   
bài này cơ bản mà

Ý anh là em dùng góc định hướng để cm nếu muốn quét hết các trường hợp thôi, nếu như dùng góc hình học bình thường thì BOM bù BOC liên quan tới BAC còn gì nữa. Đó là cách cm đơn thuần dùng góc, hoặc em có thể cm như bạn kia, dùng hàng điểm điều gòa cũng đc ( hơi dài dòng, tài liệu chuyên toán 10 có đấy!)

Gọi L là giao điểm của DI với (O), K là trung điểm BC. Bạ hãy cm L thuộc đừờng tròn đường kính BK

http://diendantoanho...dịnh-li-lyness/
Định lý lyness đó bạn, bạn có thể tìm hiểu thêm

Vì sao mấy đường đó song song vậy bạn :v

Vì KbKcMcMb nội tiếp, và KcBCKb nội tiếp nên KcHLKb nội tiếp nên HL song song với BC
Mình viết tạm thế này nhé, tại máy chưa sửa đc,

Desargues có song song nhé bạn https://julielltv.wo...iem-thang-hang/
Nếu dùng pappus thì xét góc BAC ý!

Mình gọi N, M là trung điểm AC, AB nhé ( tại má ko gõ latex đc). NO cắt BD ở H, MO cắt CD ở L. Bạn chứng minh đc HL song song BC ( đối song). Áp dụng desargues cho HNB, LCM với HL, BC, MN song song.

Sai rồi bạn

sai ở đâu nhỉ?

EMFG là hình bình hành ( các cặp cạnh đối song song tương ứng với 2 đ.chéo của tứ giác.)

Tam giảc ABC. M, N thuộc tia AB,AC, ( không trùng B, C). BN cắt CM ở P. Kí hiệu (O), (I) là đường tròn đường kính MN, AP. Giả sử (O) tiếp xúc (I) ở K. CM khi M,N thay đổi trên tia AB,AC thì K chạy trên đường tròn cố định.