dogsteven

Đề thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán tỉnh Bình Thuận năm 2017 - 2018

(Khóa ngày 19 - 10 - 2017)

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn:

$$x^4+x^3+x^2+2x=y^2+y$$

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f\left(f\left(x-y\right)\right)=f\left(x\right)-f\left(y\right)+f\left(x\right)f\left(y\right)-xy, \;\;\forall x,y\in\mathbb{R}$$

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, nội tiếp $(O)$. Một điểm $D$ bất kỳ trên cung nhỏ $AB$ của $(O)$ sao cho $D$ khác $A$ và $B$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DBC$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $DI$ cắt $AB, AC$ tương ứng tại $E, F$. Gọi $M$ là giao điểm của $BF$ và $CI$. Gọi $N$ là giao điểm của $CE$ và $BI$. Gọi $P$ là trung điểm của $BM$. $AO$ cắt $CP$ tại $K$.

Chứng minh rằng $BK$ chia đôi $CN$

Bài 4. Ở mỗi ô vuông con của hình vuông $17 \times 17$, ta ghi một số nguyên từ $1$ đến $17$ sao cho mỗi số từ $1$ đến $17$ được ghi đúng $17$ lần. Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột chứa $5$ số khác nhau.

Bài toán. Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2}\geqslant \sqrt{3\left(a^7+b^7+c^7\right)}$$

Cho tập hợp $\mathbb{S}=\{1,2,3,...,n\}$ và số nguyên tố $p$. Tìm số tập con của tập $\mathbb{S}$ sao cho tổng các phần tử của mỗi tập chia hết cho $p$.

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ với các tiếp điểm của $(I)$ trên $BC, CA, AB$ lần lược là $D, E, F$

Hai điểm $D', E'$ lần lược nằm trên $EF, FD$ sao cho $D'E' || ED$. $P$ và $P'$ là hai điểm trên $(I)$ sao cho $PP' || ED$

$PD'$ cắt $(I)$ lần thứ hai tại $M$. $AM$ cắt $CP'$ tại $T$. $BT$ cắt $(I)$ tại $N$ và $N'$

$ND$ và $N'D$ cắt $PF$ lần lược tại $K$ và $K'$

Chứng minh rằng hoặc $\overline{BKE'}$ hoặc $\overline{BK'E'}$

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. $I$ là giao điểm của $AC, BD$. Chọn $P$ bất kỳ trên $(O)$ sao cho $P$ khác $A,B,C,D$. $Q$ là một điểm di động trên $IP$. $DQ$ cắt $AC$ và $(O)$ lần lược tại $E, M$. $CQ$ cắt $BD$ và $(O)$ lần lược tại $F, N$. $MN, AB, EF$ giao nhau tại $R$. $RP$ cắt $(O)$ tại $S$. $H$ là giao điểm của $EN, FM$. $T$ là giao điểm của $IH$ và $EF$. Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua một điểm cố định khi $Q$ thay đổi.