CaCuoq

$1):$Cho $a,b,c,d>0$,Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$

$2):$Cho các số thực $x,y$ thoả mãn $(x+y)^2+11=6(x+y)+xy$.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=2x+y$

$1):$Áp dụnh Côsi ta có :$\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3} \geq \frac{5}{b^3}$

                                        $\frac{b^2}{c^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3} \geq \frac{5}{c^3}$

                                        $\frac{c^2}{d^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{c^3} \geq \frac{5}{d^3}$

                                        $\frac{d^2}{a^5}+\frac{d^2}{a^5}+\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^3}+\frac{1}{d^3} \geq \frac{5}{a^3}$

     Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có :$$3(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}) +2(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}) \geq 5(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3})$$

                                                               $\Leftrightarrow$ $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$$(Đpcm)$

Dấu $"="$ xẩy  ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=d >0$

$2):$Theo giả thiết ta có :$(x+y)^2+11=6(x+y)+xy$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+xy-6(x+y)+11=0$ $(1)$

Từ $A=2x+y$ $\Rightarrow$ $y=A-2x$.Thay vào $(1)$ ta có :$$x^2+(A-2x)^2+x(A-2x)-6(A-x)+11=0$$

                      $\Leftrightarrow$ $3x^2-(3A-6)x+A^2-6A+11=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x,điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là

                      $\Delta =(3A-6)^2-12(A^2-6A+11) \geq 0$

                      $\Leftrightarrow$ $A^2-12A+32 \leq 0$

                      $\Leftrightarrow$ $4 \leq A \leq 8$

Vậy:    $MinA=4$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x+y=4 \\(x+y)^2+11=6(x+y)+xy \end{matrix}\right.$

                                                      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x=1 \\y=2 \end{matrix}\right.$

          $MaxA=8$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x+y=8 \\(x+y)^2+11=6(x+y)+xy \end{matrix}\right.$

                                                      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x=3 \\y=2 \end{matrix}\right.$