$1):$Cho $a,b,c,d>0$,Chứng minh rằng $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$
$2):$Cho các số thực $x,y$ thoả mãn $(x+y)^2+11=6(x+y)+xy$.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=2x+y$
$1):$Áp dụnh Côsi ta có :$\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3} \geq \frac{5}{b^3}$
$\frac{b^2}{c^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{b^3} \geq \frac{5}{c^3}$
$\frac{c^2}{d^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{c^3} \geq \frac{5}{d^3}$
$\frac{d^2}{a^5}+\frac{d^2}{a^5}+\frac{d^2}{a^5}+\frac{1}{d^3}+\frac{1}{d^3} \geq \frac{5}{a^3}$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có :$$3(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}) +2(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}) \geq 5(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3})$$
$\Leftrightarrow$ $\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}$$(Đpcm)$
Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=c=d >0$
$2):$Theo giả thiết ta có :$(x+y)^2+11=6(x+y)+xy$ $\Leftrightarrow$ $x^2+y^2+xy-6(x+y)+11=0$ $(1)$
Từ $A=2x+y$ $\Rightarrow$ $y=A-2x$.Thay vào $(1)$ ta có :$$x^2+(A-2x)^2+x(A-2x)-6(A-x)+11=0$$
$\Leftrightarrow$ $3x^2-(3A-6)x+A^2-6A+11=0$
Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x,điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là
$\Delta =(3A-6)^2-12(A^2-6A+11) \geq 0$
$\Leftrightarrow$ $A^2-12A+32 \leq 0$
$\Leftrightarrow$ $4 \leq A \leq 8$
Vậy: $MinA=4$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x+y=4 \\(x+y)^2+11=6(x+y)+xy \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x=1 \\y=2 \end{matrix}\right.$
$MaxA=8$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}2x+y=8 \\(x+y)^2+11=6(x+y)+xy \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}x=3 \\y=2 \end{matrix}\right.$
- RainThunde, LakcOngtU, lahantaithe99 và 3 người khác yêu thích