DangHuyNgheAn

 Lấy pt (1)-(2) ,(2)-(3),(3-1) $= > \left\{\begin{matrix} 2(x-y)(x^2+xy+y^2)=3x(z-y) & & \\ 2(y-z)(y^2+yz+z^2)=3y(x-z) & & \\ 2(z-x)(z^2+xz+x^2)=3z(y-x) & & \end{matrix}\right.$

Nhân theo vế 

 

 $= > 8(x-y)(y-z)(z-x)\prod (x^2+xy+y^2)=27xyz(x-y)(y-z)(z-x)$

 

Nếu trong 3 tích trên có ít nhất 1 cái = 0 thì x=y hoặ y=z hoặc z=x .Thay vào đê bài rồi giải pt là xong

 

Nếu không có tích nào = 0 thì $8(x^2+xy+y^2)(y^2+yz+z^2)(z^2+xz+x^2)=27xyz$

 

Đến đây Cosi ta CM đc VT>VP  nên vo ly

Cosi the nao ha ban???

$Cau2. He\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}6a^2+4b^2+17a-7b=0 & \\ & a^3-b^3+35=0 \end{matrix}\right. (voi a=x+y,b=x-y).He nay nghiem le.=>decothesai$

$Đặt a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}.BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{2xy}{x^2+3y^2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{(x-y)^2+2y^2}{x^2+3y^2}\geq \frac{3}{2}.Lại có:\sum \frac{(x-y)^2}{x^2+3y^2}\geq \frac{(x-z)^2}{x^2+y^2+z^2};\sum \frac{2y^2}{x^2+3y^2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}.Ta Cm:\frac{(x-z)^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{(x+y+z)^2}{2(x^2+y^2+z^2)}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (x-y)(y-z)\geq 0 (1). Lập luân tương tự ta cần cm:(y-z)(z-x)\geq 0;(z-x)(x-y)\geq 0.Mà (x-y)(y-z)(y-z)(z-x)(z-x)(x-y)\geq 0 nên 1 trong 3 bđt nhỏ phải dúng=>dpcm$

$Cau1.Tacobdtquenthuoc \sum x^2+2xyz+1\geq 2\sum xy=>2(\sum x^2+xyz)+1\geq (x+y+z)^2=>2(\sum x^2+xyz+5)\geq (x+y+z)^2+9\geq 6(x+y+z)=>dpcm$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn:$abc=1$.CMR: $7(a+b+c)+27\geq 16(\sum \sqrt{ab})$

$Cau4: Do \measuredangle BME+\measuredangle BKE=180=> MBKE noitiep=>EMK=EBK=90-ACB;AME=ADE=ACB=>AMK=90=>dpcm$

$Cho:x,y,z>0 thoaman:\sum x=2013.Tim Min P=\sum \frac{x^3}{(y+z)^2}$

Giải phương trình

$4x+3+2\sqrt{1-x^2}-4\sqrt{1+x}=0$

$Cho a,b,c>0 thoa man: a+b+c=1.CMR: \frac{1}{ab(a+c)}-\frac{4}{a}\geq c(\frac{4}{b}-\frac{5}{a+c})$

Sai roi

$Cho:a,b,c>0thoaman:ab+bc+ca=3.CMR:\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}}\leq \sum \frac{1}{a}$

$Bai3:Gt\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{x}=1=>x+y+z=(x+y+z)(\sum \frac{x-1}{x})\geq (\sum \sqrt{x-1})^2=>DPCm$

$Minh nghi bai nay tuong tu bai:Cho a,b nguyen duongthoaman\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k(K\epsilon N*).Chung minh k=5$

Cho $-1\leq a,b,c\leq 1, a+b+c=0$. Chứng minh rằng $a^4+b^3+c^2\leq 2$.

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3abc+ab+bc+ca\geq a+b+c+3.(*)Lai co \sum \frac{a}{b}=\sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=>\sum a\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=>ab+bc+ca\geq a+b+c(1)Lai co\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}.Chungminhtuong tu=>\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=>a+b+c\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=> abc\geq (2). Tu (1)(2)=>(*)dung=>DPCM$