I Am Gifted So Are You

Bài 1: Bắt đầu từ đẳng thức 
$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$
Ta có bđt $(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geq 2$
$A=\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c-a)^2}+(\frac{a}{b-c})^2+(\frac{b}{c-a})^2+(\frac{c}{a-b})^2$

_Ta có
$\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3\geq 5$
_ Có đẳng thức $ \prod \left ( \frac{a}{b-c}+1 \right )=\prod \left ( \frac{a}{b-c}-1 \right ) $
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a}=-1$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a}{b-c} \right )^2\geq 2$
từ các điều trên ta có $A\geq \frac{9}{2}$
 

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn x+y+z=8. Tìm GTLN của

$A=x^3y+y^3z+z^3x$

Cho phương trình $a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_0=0$ (1) trong đó các hệ số $a_0;a_1,...,a_n$ chỉ nhận các giá trị -1;0;1 và $a_0$ khác 0. CMR nếu $x_0$ là 1 nghiệm của (1) thì $|x_0|<2$
 

Cho a,b,c>0. CMR
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Ta có $a-9 \vdots  2001$ và $a-10 \vdots 2002$ nên $a+1992 \vdots 2002.2001$
Mà $(2002;2001)=1$

nên a=2001.2002-1992

Mỗi tập con của A sẽ có tổng các phần tử nhỏ hơn 10+11+12+13+14=60
Mà A có 6 phần tử nên A sẽ có 62 tập con khác rỗng và nó

Nên theo Dirichlet ta có dpcm

cm $2(a^2+b^2+c^2)<(a+b+c)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ca)$

Cái này dễ dàng cm dk vs $a+b>c \Leftrightarrow c^2<ac+bc$

Tương tự $a^2<ba+ca$ và $b^2<bc+ca$
cộng vế vs vế ta có dpcm

Áp dụng Am-gm ta có
$\frac{a^4}{b^3(c+2a)}+\frac{c+2a}{9a}+\frac{1}{3}\geq \frac{a}{b}$
$\frac{b^4}{c^3(a+2b)}+\frac{a+2b}{9b}+\frac{1}{3}\geq \frac{b}{c}$
$\frac{c^4}{a^3(b+2c)}+\frac{b+2c}{9c}+\frac{1}{3}\geq \frac{c}{a}$
Cộng vế vs vế
$\Rightarrow VT\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-\frac{5}{3}\geq 1(dpcm)$

Dựng tam giác vuông cân ABC đỉnh A. Do chỉ tô bởi 2 màu nên tồn tại hai điểm cùng dấu , không mất tổng quát giả sử hai điểm A, B cùng màu và cùng màu xanh

+ Nếu C có màu xanh thì tam giác vuông cân ABC là tam giác phải tìm.

+ Nếu C có màu đỏ thì ta dựng điểm D sao cho ABDC là hình vuông.

          _ Nếu D màu xanh thì tam giác ABD là tam giác cần tìm.

          _ Nếu D có đỏ thì gọi I là giao điểm của AD và BC .

                   * Nếu I có xanh thì tam giác vuông cân ABI là tam giác cần tìm.

                   * Nếu I màu đỏ thì dễ thấy tam giác vuông cân CID có ba đỉnh cùng đỏ là tam giác cần tìm.