Cho tam giác $ABC$. Về phái ngoài của tam giác ta dựng các hình vuông $ABDE$, $ACFE$, và $BCIK$.
Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE$, $BDK$, $CIF$ theo thứ tự xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ đồng quy.
- chessknight yêu thích
Gửi bởi huyhoangfan trong 16-02-2015 - 12:25
Cho tam giác $ABC$. Về phái ngoài của tam giác ta dựng các hình vuông $ABDE$, $ACFE$, và $BCIK$.
Chứng minh rằng các đường cao của tam giác $AGE$, $BDK$, $CIF$ theo thứ tự xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ đồng quy.
Gửi bởi huyhoangfan trong 16-02-2015 - 06:08
Giải phương trình
1) $\sqrt{x+4}+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=3$
ĐKXĐ: $0\leq x\leq 1$
Dùng liên hợp...
$PT\Leftrightarrow \sqrt{x+4}-2+\sqrt{x}+\sqrt{1-x}(1-\sqrt{1-x})+x=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}+2}+1+\frac{\sqrt{x-x^2}}{1+\sqrt{1-x}}+\sqrt{x})\Leftrightarrow x=0$
Gửi bởi huyhoangfan trong 25-10-2014 - 21:30
$$PT\Leftrightarrow (x^2+2x)^2+8(x^2+2x)+\sqrt{x^2+2x+5}+5=0$$
Đặt $a=\sqrt{x^2+2x+5}$
$$PT\Leftrightarrow(a^2-5)^2+8(a^2-5)+a+5\Leftrightarrow (a-2)(a^3+2a^2+2a+5)=0\Leftrightarrow a=2$$
Đến đây tự giải quyết tiếp...
Gửi bởi huyhoangfan trong 25-10-2014 - 21:07
ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình nên nhân liên hợp
$\frac{2(x-1)}{\sqrt{x+5}+2}+\frac{1-x}{\sqrt{5-3x}+4}=(x+1)(x+7) $
$\Leftrightarrow (x-1)(\frac{1}{\sqrt{5-3x}+4}-\frac{2}{\sqrt{x+5}+2}+x+7)=0 $
$\Leftrightarrow x=1$
($\frac{1}{\sqrt{5-3x}+4}-\frac{2}{\sqrt{x+5}+2}+x+7>0$)$
$x=1$ thì còn nguyên cái căn kìa... , ban đầu mình nhẩm sai.
Cách nhẩm nghiệm: Nhập PT vào CASIO, bấm $Shift\rightarrow Slove$ là ra được nghiệm $x=-1$...nhân liên hợp tương tự thôi!
Gửi bởi huyhoangfan trong 25-10-2014 - 20:08
Giúp mình bài phương trình này với
$2\sqrt{x+5}+\sqrt{5-4x}=x^2+8x+14$
Nhận xét: $x=-5$ là 1 nghiệm của PT.
ĐKXĐ: $-5\leq x\leq \frac{5}{4}$
$$PT\Leftrightarrow \frac{2(x+5)}{\sqrt{x+5}}+\frac{4(x+5)}{5+\sqrt{5+4x}}-(x+5)(x+3)=0$$
$$\Leftrightarrow (x+5)(\frac{2}{\sqrt{x+5}}+\frac{4}{5+\sqrt{5-4x}}-x-3)=0\Leftrightarrow x=-5$$.
Gửi bởi huyhoangfan trong 25-10-2014 - 09:16
Giải
Đặt $a=\sqrt{2x-3};b=\sqrt{5-2x}$
PT trở thành:
$$(2b^2+3)a+(2a^2+3)b=a^2+b^2+8ab\Leftrightarrow 2ab(a+b)+3(a+b)=(a+b)^2+6ab$$
$$\Leftrightarrow (a+b-3)(2ab-a-b)=0$$
Đến đây tự giải quyết tiếp....
Gửi bởi huyhoangfan trong 25-10-2014 - 08:49
Giải các PT sau:
$2)$ $\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}$
ĐKXĐ: $x\geq \frac{1}{2}$
Áp dụng BCS ta có:
$$VT^2=(\sqrt{x(x-2)}+\sqrt{2x-1})^2\leq (x+1)(3x-1)=3x^2+4x+1$$
Dấu "=" $\Leftrightarrow x=\frac{x+2}{2x-1}\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Gửi bởi huyhoangfan trong 14-10-2014 - 20:06
Bài 41:
Chứng minh trong đa giác tồn tại $2$ cạnh $a,b$ sao cho:
$$1 \le \dfrac{b}{a} < 2$$
Gửi bởi huyhoangfan trong 14-10-2014 - 10:01
Tặng các bạn THCS một bài :
Bài 29: Cho hình chữ nhật $ABCD$ . Cho $M$ là điểm tuỳ ý. Chứng minh ta có :
$$MA^2+MC^2= MB^2+MD^2$$
Giải:
Dựng đường thẳng qua M song song với AD cắt AB, DC lần lượt tại E, F.
Ta có: $\Delta AME$ và $\Delta MFC$ là các tam giác vuông nên:
$MA^2+MC^2=(AE^2+EM^2)+(MF^2+FC^2)$(1)
tương tự:
$MB^2+MD^2=(EM^2+EB^2)+(MF^2+FD^2)$(2)
Mặt khác: $AE=FD,EB=FC$(3)
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow dpcm$.
Gửi bởi huyhoangfan trong 13-10-2014 - 22:20
5. Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=10$ tìm GTLN của $A=a^2b^3c^5$
$10=a+b+c=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{b}{3}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}+\frac{c}{5}\geq 10\sqrt[10]{\frac{a^{2}b^{3}c^{5}}{337500}}\Rightarrow 1\geq \sqrt[10]{\frac{a^{2}b^{3}c^{5}}{337500}} \Leftrightarrow a^{2}b^{3}c^{5}\leq 337500$
Dấu "=" $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=3 & & \\ c=5 & & \end{matrix}\right.$
Gửi bởi huyhoangfan trong 18-09-2014 - 21:16
Cho ba số dương x , y , z thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = $\frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( z+x \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}$
AD CBS
$VT=\frac{\frac{1}{x^2}}{x(y+z)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y(z+x)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z(x+y)}\geq \frac{(xy+yz+xz)^2}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+xz+yz}{2}$.
AD tiếp cauchy:
$\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}$.
Gửi bởi huyhoangfan trong 14-09-2014 - 10:44
Bài 8:
Từ giao điểm $O$ của các đường phân giác các góc trong của $\Delta ABC$, hạ các đường vuông góc với các cạnh $BC,AC,AB$ theo thứ tự tại các điểm $D,E,F$. Kẻ $BB_1$ vuông góc với $AO,AA_1$ vuông góc với $BO$. Chứng minh rằng các điểm $A_1,B_1,D,E$ cùng nằm trên một đường thẳng.
(đề thi HSG toán toàn quốc 1979-1980).
Gửi bởi huyhoangfan trong 05-09-2014 - 17:37
18) Cho 4 điểm $A, B, C, D$; $I, F$ lần lựot là trung điểm của $BC, CD$. Cmr: \[2\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{DA} \right)=3\overrightarrow{DB}\]
Ta có:
$VT=2(\vec{DA}+\vec{AB})+2(\vec{AI}+\vec{FA})=2\vec{DB}+2\vec{FI}$
Bây giờ chỉ cần chứng minh $2\vec{FI}=\vec{DB}$ nữa là xong.
Xét $\Delta CBD$, theo Gt $\Rightarrow$ $FI$ là đường trung bình nên ta có:
$\left\{\begin{matrix} FI//DB & \\ FI=\frac{1}{2}DB & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\vec{FI}=\vec{DB}$
từ đây suy ra đpcm.
Gửi bởi huyhoangfan trong 29-08-2014 - 20:51
Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. CMR:
$$ \frac{1}{(a+2b)^{2}}+\frac{1}{(b+2c)^{2}}+\frac{ 1}{(c+2a)^{2}}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$$.
Gửi bởi huyhoangfan trong 27-08-2014 - 20:56
5. Cho $a,b,c\geq 1$. CMR : $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{1+abc}$
Bài này đã có ở đây
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học