Nguyen Tang Sy

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

tks bác!! để em sửa. 

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

sai rồi bạn!! $x + y = 2014$ mà

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M $min$ thì $xy$ phải $max$. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{6040.2014^{2}}{4}$

Tìm $max$:

M đạt max thì $xy$ phải $min$

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số $x,y$ không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta chọn 2 số $x - 1$ và $y+1$  (vì nó có tổng bằng 2014) 

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với $xy$ min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min $xy$ = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

suy nghĩ đi các bạn.!!! đợi đáp án làm gì!!

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}+\left ( c-a \right )^{2}$

Câu 1: 

viết lại phương trình như sau:

$\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1} = 3y+2 -\frac{11x}{5}     (1) $

vì số chính phương ko viết đc dưới dạng 4k+3 nên $\sqrt{4y-1}$  là số vô tỉ

lại có VP của (1) là số hữu tỉ

do đó phương trình có nghiệm nguyên khi :

$\sqrt{4y-1}-\sqrt{2x+1} = 0 $ và $3y+2 -\frac{11x}{5} = 0$

từ đó x = 5 và y = 3

Câu b t làm thế này:

ta co: 

$\frac{AB^{2}}{AC^2} =\frac{BH.BC}{CH.BC} =\frac{BH}{CH}$

ta có:

ta có: $a +b \geq 2$ và $a^{2} + b^{2} \geq 2$

$ A = (a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b} + a^{2}+b^{2}-\frac{4}{a+b} $

$(a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b}\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} \geq  8$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab = 2$

$\frac{-4}{a+b}\geq -2$

$\rightarrow A >= 8 + 2 - 2 = 8$

trước hết bạn chứng minh cái này:

$ a^{3}+b^{3}+c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) $

(biến đổi $a^{3}+b^{3} = (a+b)^{3} -3ab(a+b)$    )

từ giả thiết suy ra:

$1-3abc = 1(1-ab-bc-ca)$

$\leftrightarrow 3abc = ab+bc+ca$

lại có:

$1 = (a+b+c)^{2} = a^{2}+ b^{2}+c^{2}+ ab + bc+ ca$

$\rightarrow 1 = 1 + 2(ab+bc+ca)$

$\rightarrow ab +bc +ca = 0$

 do đó

$3abc = ab+bc+ca = 0$

$\rightarrow a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0$

xét a = 0  (b = 0 hoặc c = 0 tương tự )ta có:

b + c = 1

$b^{2} + c^{2} = 1$

$\rightarrow (b+c)^{2} = b^{2} + c^{2} + 2bc = 1$

=> bc = 0

=> hoặc b = 0 hoặc c = 0

.... tự làm tiếp nhé

áp dụng công thức: $ r =(p-a)tan\frac{A}{2} =(p-b)tan\frac{B}{2}=(p-c)tan\frac{C}{2} $

(tự làm hoặc tra goole nhé ^^!)

$ \Rightarrow p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} + a = \frac{r}{tan\frac{B}{2}} + b = \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + c $

$ \Rightarrow 3p = \frac{r}{tan\frac{A}{2}} +  \frac{r}{tan\frac{B}{2}}  + \frac{r}{tan\frac{C}{2}} + a + b + c $

$ \Leftrightarrow 3p = r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) + 2p $

$ \Leftrightarrow p =  r(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}})   $

Áp dụng công thức S= pr rồi thay p vào ta có:

$ S = r^{2}(\frac{1}{tan\frac{A}{2}} + \frac{1}{tan\frac{B}{2}}+\frac{1}{tan\frac{C}{2}}) $

tính đc góc BHC = 120 độ.  và góc EHC = 60 độ.
 kẻ tia phân giác HN của góc BHC
CM đc tam giác EHC = tam giác NHC (g.c.g)  => HE = HN

tương tự HN = HF
do đó: HE = HF 

Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành: