megamewtwo

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$

Ta có : $\frac{2}{2-a}-a^{2}-1= \frac{2+\left ( a^{2}+1 \right )\left ( a-2 \right )}{2-a}= \frac{a\left ( a-1 \right )^{2}}{2-a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{1}{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \right )= 3$

1/cho a,b>0 và a² +b² =1 Cmr $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2\geq 2\sqrt{2}$

 

Ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2= \frac{1-b+a}{a}+\frac{1-a+b}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1-\left ( a-b \right )^{2}}{ab}}= 2\sqrt{\frac{1-\left ( a^{2}+b^{2} \right )+2ab}{ab}}= 2\sqrt{2}$

Bài 8)

Trộn dd x 200ml gồm $\left ( Fe^{2+}:C_{1}M;SO_{4}^{2-}0,15M;CL^{-}0,2M;H^{+}C_{2}M \right )$ dd Y 300ml $\left ( Ba^{2+}C_{3}M;OH^{-}0,4M;Na^{+}0,2M;Cl^{-}0,1M \right )\rightarrow dd Z$ Có PH=12,3 và mg kết tủa 

Tính $C_{1};C_{2};m$

p/s phần này hình như không liên quan đến thi đạị học mấy nhưng mình cũng đăng vậy  

Tiếp nối ý tưởng của lam 

ta có : Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt : $abc=k^{3}\leq 1\Rightarrow k\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( k\frac{yz}{x^{2}};k\frac{xz}{y^{2}};k\frac{xy}{z^{2}} \right )$

$\Rightarrow 3-A= \sum \frac{x^{4}}{x^{4}+kx^{2}yz+k^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}yz+\sum y^{2}z^{2} }\geq\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}= 1$

Áp dụng BĐT Holder 3 số: 

$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$

Mình đã chứng minh ở đây! http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/  

Làm luôn! 

Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $a=\frac{yz}{x^{2}}; b=\frac{zx}{y^{2}}; c=\frac{xy}{z^{2}}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+xyz(x+y+z)+\sum y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+2\sum y^{2}z^{2} }\geq 1\Rightarrow A\leq 2$

$\Rightarrow P^{3}\leq 9A\leq 9.2\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{18}$

Lam ơi cho mình hỏi $abc\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( \frac{yz}{x^{2}};\frac{xz}{y^{2}};\frac{xy}{z^{2}} \right )$