megamewtwo

 Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $6a+3b+c=9$ . tìm giá trị lớn nhất của P

$P=\frac{6}{9+6ab+bc+2ac}+\sqrt[3]{\frac{2abc}{\left ( 1+2a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 3+c \right )}}$

Cho x;y;z là số thực thỏa mãn $x+y+z=1$

CMR: $44\left ( xy+yz+xz \right )\leq \left ( 3x+4y+5z \right )^{2}$

1/cho a,b>0 và a² +b² =1 Cmr $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})^2\geq 2\sqrt{2}$

 

Ta có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left ( \sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}} \right )^{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2= \frac{1-b+a}{a}+\frac{1-a+b}{b}\geq 2\sqrt{\frac{1-\left ( a-b \right )^{2}}{ab}}= 2\sqrt{\frac{1-\left ( a^{2}+b^{2} \right )+2ab}{ab}}= 2\sqrt{2}$

Bài 8)

Trộn dd x 200ml gồm $\left ( Fe^{2+}:C_{1}M;SO_{4}^{2-}0,15M;CL^{-}0,2M;H^{+}C_{2}M \right )$ dd Y 300ml $\left ( Ba^{2+}C_{3}M;OH^{-}0,4M;Na^{+}0,2M;Cl^{-}0,1M \right )\rightarrow dd Z$ Có PH=12,3 và mg kết tủa 

Tính $C_{1};C_{2};m$

p/s phần này hình như không liên quan đến thi đạị học mấy nhưng mình cũng đăng vậy  

Tiếp nối ý tưởng của lam 

ta có : Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt : $abc=k^{3}\leq 1\Rightarrow k\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( k\frac{yz}{x^{2}};k\frac{xz}{y^{2}};k\frac{xy}{z^{2}} \right )$

$\Rightarrow 3-A= \sum \frac{x^{4}}{x^{4}+kx^{2}yz+k^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}yz+\sum y^{2}z^{2} }\geq\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}= 1$

Áp dụng BĐT Holder 3 số: 

$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$

Mình đã chứng minh ở đây! http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/  

Làm luôn! 

Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $a=\frac{yz}{x^{2}}; b=\frac{zx}{y^{2}}; c=\frac{xy}{z^{2}}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+xyz(x+y+z)+\sum y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+2\sum y^{2}z^{2} }\geq 1\Rightarrow A\leq 2$

$\Rightarrow P^{3}\leq 9A\leq 9.2\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{18}$

Lam ơi cho mình hỏi $abc\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( \frac{yz}{x^{2}};\frac{xz}{y^{2}};\frac{xy}{z^{2}} \right )$

Cho x;y;z dương sao cho $4\left ( x+y+z \right )= 3xyz$

Tìm max của $A=\sum \frac{1}{2+x+yz}$

Cho x;y;z thực sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}= 8$

tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $A=\left ( x-y \right )^{5}+\left ( y-z \right )^{5}+\left ( z-x \right )^{5}$

Ta có : $\sum \frac{\left ( 1+a \right )^{2}\left ( 1+b \right )^{2}}{1+c^{2}}= \sum \frac{\left [ \left ( 1+ab+a+b \right ) \right ]^{2}}{1+c^{2}}\geq \sum \frac{4\left ( a\left ( 1+b^{2} \right )+b\left ( 1+a^{2} \right ) \right )}{1+c^{2}}= 4\sum \frac{a\left ( 1+b^{2} \right )}{1+c^{2}}+4\sum \frac{b\left ( 1+a^{2} \right )}{1+c^{2}}= 4\sum a\left ( \frac{1+b^{2}}{1+c^{2}}+\frac{1+c^{2}}{1+b^{2}} \right )\geq 8\sum a= 24$

p/s: Bài này mình được tham khảo ở diễn đàn    

1/

1)$\Leftrightarrow x^{3}+1=-2\left ( y-1 \right )^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^{3}\leq -1\Rightarrow x\leq -1$

2) $\Leftrightarrow x^{2}\left ( 1+y^{2} \right )= 2y\Rightarrow y\geq 0$

$\Rightarrow x^{2}= \frac{2y}{y^{2}+1}\leq 1\Rightarrow -1\leq x\leq 1$

(1)+(2)$\Rightarrow DPCM$

2) Ta có : $\frac{1}{4}x^{2}+y^{2}\geq xy;\frac{1}{4}x^{2}+z^{2}\geq xz;\frac{1}{4}x^{2}+t^{2}\geq xt;\frac{1}{4}x^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\geq x\left ( x+z+t \right )$ ( hìng như không có dấu = nhỉ)

3)$x^{2}\geq 2x-1;y^{2}\geq 2y-1;z^{2}\geq 2z-1;x^{2}+y^{2}\geq 2xy;y^{2}+z^{2}\geq 2yz;x^{2}+z^{2}\geq 2xz\Rightarrow 3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq 2\left ( x+y+z+xy+yz+xz \right )-3= 9$

 

2. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Áp dụng COsi$\sqrt{2a\left ( a+b \right )^{3}}=\sqrt{\left ( 2a^{2}+2ab \right )\left ( a^{2}+2ab+b^{2} \right )}\leq \frac{3a^{2}+4ab+b^{2}}{2}$   (1)

$b\sqrt{2\left ( a^{2}+b^{2} \right )}= \sqrt{\left ( 2b^{2}\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \right )}\leq \frac{a^{2}+3b^{2}}{2}$         (2)

(1)+(2) $\Rightarrow$ Đpcm   

 

$\bigstar$ VD 9:

 

$\sum \frac{1}{3a^2+(a-1)^2}\geq 1$

 

 

 

 

 nhận xét : $a^{4}+a^{2}+1-\left ( 3a^{2}+\left ( a-1 \right )^{2} \right )= a\left ( a-1 \right )^{2}\left ( a+2 \right )\geq 0$

$\sum \frac{1}{3a^{2}+\left ( a-1 \right )^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1$

$\bigstar $ VD6:
$$\frac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( c+1 \right )^{2}}\geq \frac{3}{4}$$
Và còn rất nhiều bài toán khác ...
 

Đặt : $\left ( a;b;c \right )= \left ( \frac{y}{x};\frac{z}{y};\frac{x}{z} \right )$

$\sum \frac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}= \sum \frac{x^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}}$

Áp dụng :$\left ( \sum \frac{x^{2}}{\left ( x+y \right )^{2}} \right )\left ( \sum \left ( x+y \right )^{2}\left ( x+z \right )^{2} \right )\geq \left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+xz \right )^{2}$

Đpcm $\Leftrightarrow 4\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+xz \right )^{2}\geq 3\left ( \sum \left ( x+y \right )^{2}\left ( x+z \right )^{2} \right )\Leftrightarrow \left [ \sum \left ( x+y \right )^{2} \right ]^{2}\geq 3\left ( \sum \left ( x+y \right )^{2}\left ( x+z \right )^{2} \right )$

Đặt $\left ( \left ( x+y \right )^{2};\left ( y+z \right )^{2};\left ( x+z \right )^{2} \right )= \left ( m;n;p\right )$

ĐPCM $\Leftrightarrow \left ( m+n+p \right )^{2}\geq 3\left (mn+np+mp \right )$  

p/s cho phép mình đăng bài ở đây nhớ           

 

 

$\bigstar$ VD 7:

 

$\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)}^2\geq 3$

 

 

Ta có : $P= \sum \frac{a+3}{\left ( a+1 \right )^{2}}= \sum \frac{1}{a+1}+\sum \frac{2}{\left ( a+1 \right )^{2}}$

mà $\sum \frac{1}{a+1}= \sum \frac{bc}{1+bc}= 3-\sum \frac{1}{1+bc}$

áp dụng thêm bài toán phụ $\frac{1}{\left ( a+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( b+1 \right )^{2}}\geq \frac{1}{ab+1}$

$\Rightarrow$ Đpcm 

p/s đây là cách mình tham khảo được trên diễn đàn