lienhebhbv

bài này giải như sau:

ax$^{2}$ + bx + c > 0

<==> a(x + $\frac{b}{2a}$)$^{2}$ + c - $\frac{b^{2}}{4a}$ > 0

Để bpt thỏa mãn với mọi x và a > 0 thì c -  $\frac{b^{2}}{4a}$ > 0 ==> b$^{2}$ - 4ac < 0 ĐPCM

Bài này làm như sau:

Đặt u = (3 + $\sqrt{5}$)$^{x}$ > 0

       v = (3 - $\sqrt{5}$)$^{x}$ > 0  

==> uv = 4$^{x}$

==> PT trở thành: u + v - 7 $\sqrt{uv}$ = 0

<==> u$^{2}$ - 47uv + v$^{2}$ = 0

Chia cả 2 vế cho v > 0 và đặt t = u/v ta được:

t$^{2}$ - 47t + 1 = 0

Giả t, từ đó tìm được tỷ số u/v ==> tìm được x.

Giải đúng như sau:

Gọi PT đã cho là PT (*)

Xét vế trái của PT (*)

+ TH1: x $\geqslant 3$: Vế trái PT (*) $\geqslant$ 0 + 1 = 1

Dấu bằng xảy ra  khi x = 3.

+TH2: x $\leqslant 2$: Vế trái PT (*) $\geq$ 1 + 0 = 1

Dấu bằng xảy ra khi x = 2.

+ TH3: 2 $< x < 3$: Vế trái PT (*) < 3 - x + x - 2 = 1. (lý do: |a|$^{n}$ < |a| với a $\in (-1; 1)$

TH này pt vô nghiệm

KL: PT có 2 nghiệm là x = 2 và x = 3.

Cách này tuy dài hơn cái trên nhưng có vẻ đảm bảo hơn 

 

Xét $x=y=0$ là $1$ nghiệm của pt

 

Với $x, y\neq 0$ ta đặt $x=ty$ khi đó có hpt $\left\{\begin{matrix} t^3y^2=5t+1 & \\ y^2=5+t & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow t^3(5+t)=5t+1\Leftrightarrow (t-1)(t+1)(t^2+5t+1)=0$

 

Đến đây giả $t$ rồi biểu diễn $x$ theo $y$ tìm ra nghiệm

Cách này hay đó